Аналитический способ решения задач о прямолинейном равноускоренном движении.

Задача 1

Условие

В процессе прямолинейного равноускоренного движения тело за 2 секунды прошло путь 20 м, при этом его скорость уменьшилась в 3 раза. Какой была начальная скорость тела?

Решение

Способ 1. Зависимость пути от времени при равноускоренном движении выражается формулой l=v_{0} t-\frac{a t^{2}}{2} (скорость тела уменьшается с течением времени, поэтому a_{x}<0 ). Скорость изменяется с течением времени по закону v=v_{0}-a t . Из условия задачи следует, что v=\frac{v_{0}}{3} . Решая полученную систему уравнений, получим v_{0}=\frac{3 l}{2 t}=\frac{3 \cdot 20 м}{2 \cdot 2 c}=15 м / c .

Способ 2. Решим эту же задачу графически. Для этого построим график зависимости скорости от времени для описанного равноускоренного движения тела (рис. 1.1).

1.1 Путь численно равен площади трапеции под графиком v(t) : l=\frac{v_{0}+\frac{v_{0}}{3}}{2} \cdot t=\frac{2 v_{0} t}{3} .

Выразим из последней формулы начальную скорость и получим v_{0}= \frac{3 l}{2 t}=\frac{3 \cdot 20 м}{2 \cdot 2 c}=15 м / c .

Таким образом, графическим способом задача решается быстрее.

Ответ v_{0}= 15 м / c .

Задача 2

Условие

Шайба соскальзывает с наклонной плоскости (рис. 1.2). Наблюдателем зафиксированы её положения через равные интервалы времени (1 секунда): 0,3 м, 1,2 м и 2,7 м. Докажите, что шайба движется равноускорено и найдите это ускорение.

1.2 Решение

Найдём пути, проходимые шайбой, за равные промежутки времени: l_{1}=0,3 м ; l_{2}=1,2-0,3=\\=0,9 м ; l_{3}=2,7-1,2=1,5 м . Пути относятся, как последовательные нечётные числа, начиная с единицы: l_{1}: l_{2}: l_{3}=1: 3: 5 . Следовательно, движение шайбы является равноускоренным движением из состояния покоя. Тогда ускорение шайбы можно найти, используя формулу l= \frac{a t^{2}}{2} . Отсюда a=\frac{2 l}{t^{2}}=\frac{2 \cdot 0,3}{1^{2}}=0,6 м / c^{2} .

Можно было рассчитать ускорение шайбы при её движении по наклонной плоскости в моменты времени 1 с, 2 с, 3 с и сравнить эти значения. Однако, использование знакомого соотношения позволило сократить решение задачи.

Ответ a=0,6 м / c^{2} .

Задача 3

Условие

Конная повозка двигается прямолинейно равномерно со скоростью 7,2 км/ч. Когда она проезжает мимо человека, тот начинает с постоянным ускорением бежать за ней. Найдите скорость человека в тот момент, когда он догонит повозку.

Решение

Направим ось x в сторону движения повозки и человека, начало отсчёта совместим с начальным положением человека. Тогда уравнение равномерного движения повозки x_{\text {п }}=v_{п} t , уравнение равноускоренного движения человека из состояния покоя x_{п}=\frac{a_{п} t^{2}}{2} , где скорость человека изменяется по закону v_{ч}=a_{ч} t . В момент, когда человек догонит повозку, координаты x человека и повозки будут равны. Отсюда получаем v_{ч}=2 v_{\text {п}}= 2 \cdot 7,2=14,4 \frac{км}{{ч}}=4 м / c .

Ответ v_{ч}=4 м/с.