Аналитический способ решения задач о прямолинейном равноускоренном движении.

Задача 9

Условие

Шайбу толкнули вверх вдоль наклонной плоскости со скоростью 10 м/с. Обратно она вернулась со скоростью 5 м / c . С какой скоростью вернётся шайба, если на половине высоты, до которой она поднималась, поставить стенку, от которой происходит отражение без потери скорости?

Решение

Направим ось x вдоль наклонной плоскости вверх, за начало отсчёта примем начальное положение шайбы (рис. 1.7).

1.7 Заметим, что начальная скорость шайбы и её скорость в конце спуска различны, значит ускорения при движении шайбы вверх и вниз тоже разные. Обозначим их a_{1} и a_{2} соответственно.

Путь, пройденный шайбой до верхней точки траектории равен l_{1}=\frac{v_{0}^{2}}{2 a_{1}} , а путь, пройденный вниз l_{2}=l_{1}=\frac{v_{2}^{2}}{2 a_{2}} , где v_{2} - скорость шайбы в конце спуска. Приравняв правые части двух выражений, получим после математических преобразований \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{v_{2}^{2}}{v_{0}^{2}}=\left(\frac{5}{10}\right)^{2} , откуда a_{1}=4 a_{2} .

По условию задачи на половине высоты поставили стенку (рис. 1.8). Из подобия треугольников следует, что за время подъёма шайбы до стенки она проходит путь, равный l_{3} при этом скорость шайбы при ударе о стенку обозначим v_{3} . Тогда l_{3}=\frac{v_{0}^{2}-v_{3}^{2}}{2 a_{1}}=\frac{l_{1}}{2} . Используя выражение для l_{2} и l_{3} , получим v_{3}=\sqrt{v_{0}^{2}-a_{1} \cdot \frac{v_{0}^{2}}{2 a_{1}}}=\frac{v_{0}}{\sqrt{2}}

1.8 Из условия задачи следует, что шайба отскакивает от стенки без потери скорости. Тогда до нижней точки траектории она проходит расстояние, равное l_{3}=\frac{l_{1}}{2} и достигает нижней точки траектории, имея скорость v_{\text {к}} которую найдём из формулы \frac{l_{1}}{2}=\frac{v_{\text {к}}^{2}-v_{3}^{2}}{2 a_{2}} . Отсюда получим

v_{к}=\sqrt{l_{1} a_{2}+v_{3}^{2}} . Подставляя полученное ранее выражение l_{1} a_{2}=\frac{v_{2}^{2}}{2} , получим v_{\text {к}}=\sqrt{\frac{v_{2}^{2}+v_{0}^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{10^{2}+5^{2}}{2}} \approx

\approx 7,9 м / c .

Ответ v_{\text {к}} \approx 7,9 м / c .

Задача 10

Условие

Пассажир метро, ожидавший поезд на платформе, заметил, что первые n_{1}=3 вагона прибывающего поезда проехали мимо него за t_{1}=8 с , а через t_{2}=24 с поезд остановился. Какой вагон оказался напротив пассажира? Считать, что поезд двигался с одинаковым ускорением

Решение

Будем рассматривать движение точки, находящейся в начале поезда (т.к. поезд движется поступательно). Направим ось x вдоль движения поезда, за начало отсчёта примем положение пассажира на платформе. За момент начала отсчёта времени примем момент, когда с пассажиром поравнялось начало поезда. Тогда зависимость координаты и скорости точки в начале поезда выражается формулами x=v_{0} t-\frac{a t^{2}}{2}, v=v_{0}-a t .

Пусть l - длина одного вагона, тогда в момент времени t_{1} координата начала поезда \quad n_{1} l=\\=v_{0} t_{1}-\frac{a t_{1}^{2}}{2} , а в момент времени t_{2} координата начала поезда и его скорость (равная нулю) примут вид n_{2} l=v_{0} t_{2}-\frac{a t_{1}^{2}}{2} ; v=v_{0}- a t_{2}=0

Выразив из последней формулы начальную скорость v_{0} и подставив в оба уравнения движения, получим n_{2}=\frac{n_{1} t_{2}^{2}}{t_{1}\left(2 t_{2}-t_{1}\right)} \approx 5,4 . Значит после остановки поезда напротив пассажира оказался шестой вагон.

Ответ Шестой вагон.