Решение задач о движении тел, брошенных вертикально вверх

Задача 1

Условие

Мяч подброшен вертикально вверх со скоростью v . График зависимости скорости мяча от времени показан на рисунке 5.1.

5.2 Из предложенных утверждений все верные утверждения, описывающие движение тела.

1) Влияние сопротивления воздуха мало.

2) Время движения мяча вверх и вниз одинаково.

3) Время движения мяча вверх равно 1 с.

4) Мяч поднимется на максимальную высоту 6 м.

5) Полная механическая энергия системы сохраняется.

Решение

Обратим внимание на разный угол наклона графика v(t) до и после пересечения с осью времени, что говорит о разных модулях ускорения мяча при его движении вверх и вниз. Таким образом, сопротивлением воздуха в данной задаче пренебречь нельзя. Полная механическая энергия системы не сохраняется.

Точка пересечения графика v(t) с осью t показывает время движения мяча вверх. Оно равно 1 с.

Модуль ускорения мяча при его движении вверх равен a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{12}{1}= 12 м / c^{2} . Максимальная высота подъёма мяча h_{\max }=\frac{v_{0}^{2}}{2 a}=6 м.

Верными утверждениями являются 3 и 4.

Ответ 3, 4.

Задача 2

Условие

На рисунке 5.2 изображён график зависимости от времени координаты мяча, брошенного вертикально вверх. Масса мяча 100 г.

5.3 Из предложенных утверждений все верные утверждения, описывающие движение тела.

1) В момент времени t=0 с импульс мяча равен 0.

2) В момент времени t=2 с скорость мяча равна 0.

3) Начальная скорость мяча равна 20 м / c .

4) Пройденный мячом путь равен 45 м

5) Проекция перемещения мяча равен 5 м.

Решение

График зависимости координаты мяча от времени представляет собой параболу с вершиной в момент времени t=2 с. Значит в этот момент времени скорость мяча (а следовательно, и его импульс) равна 0.

Проекция перемещения тела s_{y}=y-y_{0}=0-5=-5 м.

Путь, пройденный мячом, равен сумме модулей перемещений при движении его вверх и вниз: l=\left|y_{\max }-y_{0}\right|+\left|y-y_{\max }\right|=|25-5|+\mid 0- 25 \mid=45 м.

Уравнение движения мяча имеет вид y=y_{0}+v_{0} t-\frac{a t^{2}}{2} . График представляет собой параболу, вершина которой соответствует моменту времени 2 с, при этом из квадратного уравнения следует, что t_{в}=\frac{v_{0}}{a} . Подставляя это выражение в уравнение движения, найдём после математических преобразований начальную скорость мяча v_{0}=\frac{2\left(y_{\max }-y_{0}\right)}{t_{в}}= \frac{2(25-5)}{2}=20 м / c .

Верными утверждениями являются 2, 3 и 4.

Ответ 2, 3 и 4.

Задача 3

Условие

Мяч брошен вертикально вверх. Что больше: время подъёма или время падения, если учитывать влияние силы сопротивления среды?

Решение

Изобразим силы, действующие на мяч при его движении вверх и вниз (рис. 5.3, а, б). Будем считать, что сила сопротивления воздуха не зависит от скорости движения мяча.

5.4 По второму закону Ньютона модуль ускорения мяча при его движении вверх \quad a_{\uparrow}=\frac{m g+F_{c}}{m}=\\=g+\frac{F_{c}}{m} , а при движении вниз a_{\downarrow}=\frac{m g-F_{c}}{m}=g-\frac{F_{c}}{m} . Значит, a_{\uparrow}>a_{\downarrow}

Воспользуемся формулой пути, пройденного телом при прямолинейном движении в одном направлении h=\frac{v_{0}^{2}}{2 a_{\uparrow}}=\frac{v_{\kappa}^{2}}{2 a_{\downarrow}} . Как было выяснено ранее, a_{\uparrow}> a_{\downarrow} , а значит v_{0}>v_{\text {к }} .

При движении вниз h=\frac{a_{1} t_{l}^{2}}{2} . Используя уравнение движения и формулу зависимости скорости от времени, можно доказать, что при движении вверх h=\frac{a_{\uparrow} t_{\uparrow}^{2}}{2} . Так как a_{\uparrow}>a_{\downarrow} , а значит t_{\downarrow}>t_{\uparrow} , то есть время подъема мяча меньше времени падения.

Это же можно доказать, используя теорему об изменении кинетической энергии: E_{\text {к }}-E_{\text {к}0}=\\=A_{\text {тяж}}+A_{\text {с }} . Работа силы тяжести по замкнутой траектории равна нулю, а работа силы сопротивления воздуха отрицательная. Таким образом, из-за сопротивления воздуха кинетическая энергия мяча при спуске меньше, чем при подъеме, а значит и средняя скорость движения мяча вверх больше средней скорости его движения вниз. Поэтому время подъема мяча меньше времени падения.

Ответ Время подъема мяча меньше времени падения.

Задача 4

Условие

Определите наибольшую высоту подъёма тела, брошенного вертикально вверх с поверхности земли, если через 6 с оно упало обратно.

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 5.4.

5.5 Уравнение движения тела имеет вид y=v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} . В момент падения на землю y=0 , поэтому время полёта выражается формулой t_{\text {пол }}=\frac{2 v_{0}}{g} .

Уравнение зависимости проекции скорости от времени v_{y}=v_{0}-g t В верхней точке траектории скорость тела равна нулю. Тогда время подъёма t_{\text {под }}=\frac{v_{0}}{g}=\frac{t_{\text {пол }}}{2} . Напомним, что пользоваться этим соотношением, как готовым, на ЕГЭ нельзя.

Максимальная высота подъёма тела h_{\max }=\frac{v_{0}^{2}}{2 g}=\frac{g t_{\text {пол }}^{2}}{8}=\frac{10 \cdot 6^{2}}{8}=45 м.

Ответ h_{\max }=45 м.