Решение задач о движении тел, брошенных вертикально вверх

Задача 5

Условие

Мяч, брошенный вертикально вверх, через промежуток времени, равный половине времени подъёма на максимальную высоту, находился на высоте h=9 м над точкой броска. На какую максимальную высоту поднимался мяч?

Решение

Уравнение зависимости проекции скорости от времени имеет вид v_{y}=v_{0}-g t . В верхней точке траектории скорость мяча равна нулю. Тогда время подъёма t_{\text {под }}=\frac{v_{0}}{g} .

На высоте h мяч находилось через промежуток времени t_{1}=\frac{t_{\text {под }}}{2}=\frac{v_{0}}{2 g} . Уравнение движения мяча h=v_{0} t_{1}-\frac{g t_{1}^{2}}{2} . Подставляя время t_{1} , получим h=\frac{3 v_{0}^{2}}{8 g} , откуда \frac{v_{0}^{2}}{2 g}=\frac{4 h}{3} .

Максимальная высота подъёма тела h_{\max }=\frac{v_{0}^{2}}{2 g}=\frac{4 h}{3}=\frac{4 \cdot 9}{3}=12 м. Обратим внимание на то, что безвременная формула упрощает решение задачи. Но использовать её можно только в том случае, если тело не меняло направление движения. Покажем это на примере.

Ответ h_{\max }=12 м.

Задача 6

Условие

С балкона, расположенного на высоте h=15 м над землёй, бросают вертикально вверх мяч, который падает на землю через \tau=3 с после броска. Найдите путь мяча за время полёта.

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 5.5.

5.6 Движение мяча описывается уравнением y=h+v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} . Учитывая, что в момент падения на землю через время \tau координата y=0 , получим выражение для начальной скорости тела v_{0}=\frac{g \tau^{2}-2 h}{2 \tau} .

До максимальной высоты подъёма мяч пролетает расстояние h_{\max }- h=\frac{v_{0}^{2}}{2 g} , откуда

h_{\max }=h+\frac{v_{0}^{2}}{2 g}=h+\frac{\left(g \tau^{2}-2 h\right)^{2}}{8 g \tau^{2}} .

Путь, пройденный мячом, равен \begin{gathered}

l=h_{\max }-h+h_{\max }=2 h_{\max }-h=h+\frac{\left(g \tau^{2}-2 h\right)^{2}}{4 g \tau^{2}}=\\=15+\frac{\left(10 \cdot 3^{2}-2 \cdot 15\right)^{2}}{4 \cdot 10 \cdot 3^{2}}=

25 м .

\end{gathered}

Ответ l=25 м.

Задача 7

Условие

Снаряд из орудия вылетает вертикально вверх. В верхней точке траектории он разрывается на множество осколков, которые разлетаются по всем направлениям с одинаковыми скоростями 200 м/с. Найдите интервал времени, в течение которого осколки будут падать на землю.

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 5.6.

5.7 Осколки будут разлетаться под разными углами к горизонту. Дольше всех будет падать осколок, летевший после разрыва вертикально вверх, а быстрее всех - осколок, летевший вертикально вниз. Остальные осколки будут падать на землю в данном интервале времени.

Движение осколка, полетевшего вертикально вверх, описывается уравнением y_{1}=h_{\max }+v_{0} t_{1}-\\-\frac{g t_{1}^{2}}{2} , в полетевшего вниз y_{2}=h_{\max }-v_{0} t_{1}- \frac{g t_{1}^{2}}{2} .

В момент падения на землю координаты всех осколков равны нулю. Тогда, решая квадратные уравнения, можно найти времена полётов этих осколков: t_{1}=\frac{v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2 g h}}{g} n t_{2}=\frac{-v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2 g h}}{g} .

Тогда интервал времени, в течение которого осколки будут падать на землю, равен \tau=t_{2}-t_{1}=\\=\frac{2 v_{0}}{g}=\frac{2 \cdot 200}{10}=40 с .

Ответ \tau=40 с .

Задача 8

Условие

С балкона вертикально вверх бросают камень. Через время \tau скорость летящего вверх камня уменьшилась на 10

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 5.7.

5.8 По условию h_{\max }=2 h , при этом h_{\max }-h=h=\frac{v_{0}^{2}}{2 g} . Скорость камня через промежуток времени \tau равна v_{1}=0,9 v_{0}=v_{0}- g \tau . Откуда получим v_{0}=10 g \tau .

Тогда после подстановки h=\frac{v_{0}^{2}}{2 g}=\frac{(10 g \tau)^{2}}{2 g}=50 g \tau^{2} .

Ответ h=50 g \tau^{2} .

Задача 9

Условие

Мяч, брошенный вертикально вверх с поверхности земли, через некоторое время упал на балкон со скоростью, вдвое меньшей, чем начальная. На какой высоте над землёй находится балкон, если через время \tau после броска скорость летящего вверх мяча уменьшилась на 25

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 5.8.

5.9 По условию через промежуток времени \tau скорость мяча равна v_{1}= 0,75 v_{0}=v_{0}-g \tau . Откуда получим v_{0}=4 g \tau .

По условию скорость, с которой мяч падает на балкон, равна v_{\text {к }}=0,5 v_{0} . Откуда после подстановки полученного выражения для начальной скорости, получим v_к=2 g \tau .

Максимальная высота подъёма h_{\max }=\frac{v_{0}^{2}}{2 g}=8 g \tau^{2} . После подъёма на эту высоту мяч падает до балкона, проходя расстояние h_{\max }-h=\frac{v_к^{2}}{2 g}=2 g \tau^{2} . Отсюда получаем высоту, на которой находится балкон h=6 g \tau^{2} .

Ответ h=6 g \tau^{2} .