Решение задач о свободном падении тел

Задача 1

Условие

Камень роняют в ущелье глубиной 50 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите среднюю путевую скорость камня за время полёта.

Решение

Среднюю путевую скорость камня за время полёта найдём из уравнения v_{\text {ср }}=\frac{h}{t_{\text {пол }}} , где t_{\text {пол }}- время падения камня в ущелье. Свободно падающий без начальной скорости камень проходит путь h=\frac{g t_{\text {пол }}^{2}}{2} . Выражая t_{\text {пол }} и подставляя его в формулу для расчёта средней путевой скорости, получим v_{\text {ср}}=\frac{h}{t_{\text {пол }}}=\sqrt{\frac{g h}{2}}=\sqrt{\frac{10 \cdot 50}{2}}=15,8 м/c.

Ответ v_{\text {ср}}=15,8 м/c.

Задача 2

Условие

Определите начальную скорость шарика, брошенного вертикально вниз с высоты 30 м, если он достиг земли через 2 секунды.

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 4.1.

4.2 Движение шарика описывается уравнением y=v_{0} t+\frac{g t^{2}}{2} . В момент падения на землю y=h . Отсюда находим начальную скорость камня:

v_{0}=\frac{h-\frac{g t^{2}}{2}}{t}=\frac{30-\frac{10 \cdot 2^{2}}{2}}{2}=5 м / c. Ответ v_{0}=5 м / c .

Задача 3

Условие

Камень роняют в ущелье. Через \tau=6 с слышен звук удара камня о дно ущелья. Определите глубину ущелья. Скорость звука примите равной 330 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Свободно падающий без начальной скорости камень пролетает расстояние, равное глубине ущелья h=\frac{g t_{к}^{2}}{2} . Это же расстояние проходит звук от удара о дно ущелья h=v_{\text {зв }} t_{\text {зв }} . Отсюда получим t_{\text {зв}}=\frac{g t_к^{2}}{2 v_{зв}} . Учитывая, что \tau=t_{\text {к }}+t_{\text {зв }} , получим квадратное уравнение относительно t_{\text {к }} : \frac{g t_к^{2}}{2 v_{зв }}+t_к-\tau=0,

удовлетворяющим условию задачи корнем которого является t_к=\frac{-v_{зв }+\sqrt{v_{зв }^{2}+2 g \tau v_{зв }}}{g}.

Подставляя это выражение в первую формулу, получим

h=\frac{\left(-v_{\text{зв} }+\sqrt{v_{\text{зв} }^{2}+2 g \tau v_{\text{зв} }}\right)^{2}}{2 g}=\frac{\left(-330+\sqrt{330^{2}+2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 330}\right)^{2}}{2 \cdot 10} \approx 153 \hspace{3pt}\text{м}. Ответ h \approx 153 м.

Задача 4

Условие

За последнюю секунду падающее тело прошло путь в 2 раза больший, чем за предпоследнюю. С какой скоростью тело ударилось о землю?

Решение

Способ 1. Воспользуемся графическим способом решения задачи. Зависимость скорости свободно падающего без начальной скорости тела от времени выражается формулой v=g t . Построим график этой зависимости, обозначив последнюю и предпоследнюю секунды падения \tau (рис. 4.2).

4.3 Путь, пройденный телом за предпоследнюю секунду, равен площади трапеции, указанной на рисунке: l_{1}=\frac{g t+g(t+\tau)}{2} \tau=\frac{2 g t \tau+g \tau^{2}}{2} .

А путь, пройденный за последнюю секунду, l_{2}=\frac{g(t+2 \tau)+g(t+\tau)}{2} \tau=\frac{2 g t \tau+3 g \tau^{2}}{2}.

Учитывая, что по условию задачи l_{2}=2 l_{1} , находим время падения тела до начала предпоследней секунды t=\frac{\tau}{2} . Тогда время полёта тела t_{\text {п }}=\frac{\tau}{2}+ 2 \tau=2,5 \tau , а скорость перед ударом о землю v_{\text {к }}=g t_{\text {п }}=2,5 g \tau=2,5 \cdot 10 \cdot 1= 25 м/c.

Способ 2. Покажем аналитический способ решения задачи. Введём систему координат, как показано на рисунке 4.3. Обозначим t - время всего полёта с высоты h, l_{1} - путь, пройденный телом до начала предпоследней секунды (за время t â 2 \tau ), l_{2} - путь, пройденный телом до начала последней секунды (за время t â \tau )

4.4 Тогда, можно записать h=\frac{g t^{2}}{2} , l_{1}=\frac{g(t-2 \tau)^{2}}{2} , l_{2}=\frac{g(t-\tau)^{2}}{2} .

Путь, пройденный за последнюю секунду, равен l_{\text {п }}=h-l_{2}=\frac{g t^{2}}{2}- \frac{g(t-\tau)^{2}}{2}=\frac{2 g \tau t-g \tau^{2}}{2} , а за предпоследнюю l_{\text {пп }}=l_{2}-l_{1}=\frac{g(t-\tau)^{2}}{2}-\frac{g(t-2 \tau)^{2}}{2}= \frac{2 g \tau t-3 g \tau^{2}}{2} .

Учитывая, что по условию задачи l_{\text {п }}=2 l_{\text {пп }} , находим время полёта тела t=\frac{5 \tau}{2} . Тогда скорость перед ударом о землю v_{\text {к }}=g t=2,5 g \tau=2,5 \cdot 10 \cdot 1= 25 м/c.

Ответ v_{\text {к }}=25 м/c.