Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Координатный метод

Траектория движения.

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. Так движется, например, баскетбольный мяч при броске в корзину или футбольный мяч после паса ногой. Под углом к горизонту движется снаряд после выстрела. Науку о движении снарядов и пуль называют баллистикой от латинского «баллиста» - военная машина для метания камней. Поэтому движение тела, брошенного под углом к горизонту, так же называют баллистическим движением.

При отсутствии сопротивления воздуха тело в течение всего полёта движется с ускорением свободного падения \vec{g} .

Начнём со случая, когда тело бросали с поверхности земли с начальной скоростью \vec{v}_{0} под углом \alpha к горизонту. Введём систему координат, как показано на рисунке 1.

Рис. 5.1

Зависимость скорости тела от времени в векторном виде и в этом случае выражается всё той же формулой \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{g} t . Однако теперь надо учитывать, что начальная скорость имеет ненулевые проекции на обе оси координат: v_{0 x}=v_{0} \cos \alpha и v_{0 y}=v_{0} \sin \alpha .

Тогда уравнения зависимости проекций скорости на координатные оси имеют вид v_{x}=v_{0} \cos \alpha и v_{y}=v_{0} \sin \alpha-g t , а уравнения координат от времени: x=v_{0} \cos \alpha t и y=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} . Если тело бросают вверх под углом к горизонту не с поверхности земли, а с некоторой высоты h , то последнее уравнение примет вид y=h+v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} , а если вниз под углом к горизонту, то y=h-v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} . При этом остальные уравнения остаются неизменными.

Из полученных формул следует, что брошенное под углом к горизонту тело вдоль оси x движется равномерно со скоростью v_{0} \cos \alpha , а вдоль оси y — как тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v_{0} \sin \alpha .

Получим уравнение траектории теле, брошенного под углом к горизонту с поверхности земли. Для этого из уравнения x(t) выразим время t=\frac{x}{v_{0} \cos \alpha} и подставим это выражение в уравнение y(t) . После математических преобразований получим:

y=x \text{tg} \alpha-\frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha} x^{2}

В случае, когда тело бросают не с поверхности земли, а с некоторой начальной высоты h , уравнение траектории примет вид

y=h+x \text{tg} \alpha-\frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha} x^{2}

Эти формулы представляют собой уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при x^{2} отрицателен. Вершина этой параболы находится в точке наивысшего подъёма тела. Параболическую форму траектории тела, брошенного под углом к горизонту, наглядно демонстрирует струя воды, вытекающая под напором из трубки. Струя принимает форму параболы, так как каждая частица струи движется по параболе. Изменяя начальную скорость или угол наклона трубки, можно изменять дальность и высоту подъёма струи.

Скорость тела в любой момент времени

Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории (рис. 2).

Рис. 5.2

Уравнения зависимости проекций скорости на координатные оси имеют вид v_{x}=v_{0} \cos \alpha и v_{y}=v_{0} \sin \alpha-g t . Графики зависимости проекций скорости от времени изображены на рисунках 3, а, б.

Рис. 5.3

В любой момент времени модуль скорости равен v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} , при этом вектор скорости направлен под углом \beta к горизонту, причём \text{tg} \beta=\frac{v_{y}}{v_{x}} .

Время подъёма и время полёта.

В верхней точке траектории скорость направлена горизонтально, значит в этот момент времени v_{y}=0 . Отсюда можно найти время подъёма тела на максимальную высоту:

t_{\text {под. }}=\frac{v_{0} \sin \alpha}{g} \text {. }

В момент падения на землю координата y=0 . Приравнивая уравнение y(t) нулю, можно найти время полёта тела:

t_{\text {пол. }}=\frac{2 v_{0} \sin \alpha}{g}

Сравнивая две формулы, видим, что t_{\text {пол. }}=2 t_{\text {под. }} . Обратим внимание, что это утверждение справедливо лишь в том случае, когда точка броска и точка падения тела лежат на одном уровне.

Напомним, что всеми этими формулами, как готовыми, на ЕГЭ пользоваться нельзя - их надо выводить!

Дальность полёта и высота подъёма

Подставив время полёта тела в уравнение x(t) , после математических преобразований получим выражение для расчёта дальности полёта тела, брошенного под углом к горизонту:

l=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g} .

Проанализируем полученное выражение. Дальность полёта определяется начальной скоростью и углом броска. При неизменном угле броска дальность полёта тела возрастает с ростом начальной скорости.

Максимальное значение синуса равно единице. Отсюда следует, что при неизменной начальной скорости дальность полёта тела будет максимальной при броске под углом \alpha=45^{\circ} , при этом l_{\max }=\frac{v_{0}^{2}}{g} .