Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Координатный метод

Пример 1. Диск, брошенный под углом 45^{\circ} к горизонту, достиг наибольшей высоты 20 м. Какова дальность полёта диска? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Введём систему координат, как показано на рис. 7.

Рис. 5.7

Уравнения зависимости проекций скорости на координатные оси и уравнения движения имеют вид:

v_{x}=v_{0} \cos \alpha ; v_{y}=v_{0} \sin \alpha-g t ; x=v_{0} \cos \alpha t ; y=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2}

Приравнивая нулю уравнение v_{y}=v_{0} \sin \alpha-g t , найдём время подъёма тела на максимальную высоту t_{\text {под. }}=\frac{v_{0} \sin \alpha}{g} . Подставив полученное выражение в уравнение y(t) , получим максимальную высоту подъёма тела h=\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 g} .

Приравнивая нулю уравнение y=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} , найдём время полёта тела t_{\text {пол. }}=\frac{2 v_{0} \sin \alpha}{g} . Подставив полученное выражение в уравнение x(t) , получим выражение для дальности полёта l=\frac{v_{0}^{2} 2 \sin \alpha \cos \alpha}{g} .

Разделив полученные выражения для высоты и дальности полёта друг на друга, получим \frac{h}{l}=\frac{\text{tg} \alpha}{4} . Отсюда дальность полёта тела l=\frac{4 h}{\text{tg} \alpha}=\frac{4 \cdot 20}{\text{tg} 45^{\circ}}= 80 м.

Пример 2. Из брандспойта, расположенного около поверхности земли, бьёт струя воды со скоростью 10 м/с. Брандспойт медленно вращается вокруг вертикальной оси. Определить максимальную площадь, которую можно оросить водой из этого брандспойта, если он может менять угол наклона к поверхности земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Введём систему координат, как показано на рис. 7. Уравнения зависимости проекций скорости на координатные оси и уравнения движения имеют вид:

v_{x}=v_{0} \cos \alpha ; v_{y}=v_{0} \sin \alpha-g t ; x=v_{0} \cos \alpha t ; y=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2}

Приравнивая нулю уравнение y=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} , найдём время полёта капель до поверхности земли t_{\text {пол. }}=\frac{2 v_{0} \sin \alpha}{g} . Подставив полученное выражение в уравнение x(t) , получим выражение для дальности полёта струи l=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g} . Максимальная дальность полёта струи будет при угле наклона 45^{\circ} и равна l_{\max }=\frac{v_{0}^{2}}{g} .

Максимальная площадь, которую можно оросить водой из этого брандспойта, равна S_{\max }=\pi l_{\max }^{2}=\frac{\pi v_{0}^{4}}{g^{2}}=\frac{3,14 \cdot 10^{4}}{10^{2}}=314 \text{ м}^{2} .

Пример 3. Из орудия произведён выстрел под углом 45^{\circ} к горизонту. Через какое время артиллерист услышал звук разрыва снаряда? Начальная скорость снаряда 300 м/c. Скорость звука в воздухе 340 м/c. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Рассмотрим сначала полёт снаряда до места разрыва. Введём систему координат, как показано на рис. 7. Уравнения движения имеют вид: x=v_{0} \cos \alpha t ; y=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} .

Приравнивая нулю уравнение y(t) , получим время полёта снаряда t_{\text {пол. }}=\frac{2 v_{0} \sin \alpha}{g} . Подставив полученное выражение в уравнение x(t) , получим выражение для дальности полёта снаряда l=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g} .

Время равномерного движения звука от места разрыва снаряда до артиллериста равно t_{\text {зв.}}=\frac{l}{v_{\text {зв.}}}=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g v_{\text {зв.}}} .

Таким образом, артиллерист услышал звук разрыва снаряда через время t=t_{\text {пол. }}+t_{\text {зв.}}=\frac{2 v_{0} \sin \alpha}{g}+\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g v_{\text {вв. }}}=\frac{2 v_{0} \sin \alpha}{g}\left(1+\frac{v_{0} \cos \alpha}{v_{\text {вв. }}}\right) \approx 70 \mathrm{c} .