Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Координатный метод

Кроме того, \sin 2 \alpha=\sin (\pi-2 \alpha) . Положив \pi-2 \alpha=2 \beta , получим \frac{\pi}{2}- \alpha=\beta , то есть \alpha+\beta=90^{\circ} . Отсюда видно, что при углах бросания \alpha и \beta , составляющих в сумме 90^{\circ} , горизонтальная дальность полёта тела будет одинаковой. Если цель находится на расстоянии, меньшем, чем максимальная дальность, снаряд может попасть в цель двумя путями: при угле наклона меньшем 45^{\circ} - настильная стрельба, при угле, большем 45^{\circ} - навесная стрельба (рис. 4).

Рис. 5.4

Подставив время подъёма тела на максимальную высоту t_{\text {под. }}=\frac{v_{0} \sin \alpha}{g} в уравнение y(t) , получим выражение для максимальной высоты подъема тела:

h=\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 g}

Проанализируем полученное выражение. Высота подъёма определяется начальной скоростью и углом броска. При неизменном угле броска высота возрастает с ростом начальной скорости. При неизменной начальной скорости высота подъёма тела будет максимальной при броске под углом \alpha=90^{\circ} , то есть вертикальном броске. При этом h_{\max }=\frac{v_{0}^{2}}{2 g} .

Найдём скорость, с которой тело, брошенное под углом к горизонту с поверхности земли, упадёт на нее. Для этого подставим полученные выражения t_{\text {под. }}=\frac{v_{0} \sin \alpha}{g} и t_{\text {пол. }}=\frac{2 v_{0} \sin \alpha}{g} в выражения для проекций скоростей на оси x и у соответственно, а затем их в выражение v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} . После математических преобразований получим v_{\text {к }}=v_{0} . Таким образом, в отсутствии сопротивления воздуха модуль конечной скорости равен модулю начальной скорости, причём угол наклона вектора конечной скорости к горизонту так же равен \alpha .

Если тело, брошенное под углом к горизонту, испытывает сопротивление среды, например воздуха, то его движение вдоль оси x уже не будет равномерным, а будет происходить с замедлением. Движение вдоль оси у будет происходить с некоторым ускорением a \neq g , тело будет тормозить быстрее и поэтому поднимется на меньшую высоту. Траектория движения тела в этом случае уже не будет представлять собой параболу, а будет выглядеть примерно так, как показано на рисунке 5.

Рис. 5.5

Кривизна траектории

В задачах о движении тел вблизи поверхности Земли часто требуется найти радиус кривизны траектории точки в некоторый момент времени. Для определения радиуса кривизны R можно воспользоваться выражением для нормального ускорения a_{n}=\frac{v^{2}}{R} , где a_{n} - проекция вектора ускорения на нормаль к траектории движения в данной точке (или в данный момент времени).

Рассмотрим некоторый момент времени движения тела, брошенного под углом к горизонту (рис. 6).

Рис. 5.6

Нормальное ускорение в этом случае равно a_{n}=g \cos \beta=g \frac{\left|v_{x}\right|}{v} .

Тогда радиус кривизны траектории R=\frac{v^{2}}{a_{n}}=\frac{v^{3}}{g\left|v_{x}\right|}=\frac{\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)^{3 / 2}}{g\left|v_{x}\right|} , проекции скорости на координатные оси в рассматриваемый момент времени модно найти, используя выражения v_{x}=v_{0} \cos \alpha и v_{y}=v_{0} \sin \alpha-g t .

Так как в процессе движения может изменяться только проекция скорости тела на ось y , то радиус кривизны будет минимальным в верхней точке траектории, когда v_{y}=0 . Таким образом R_{\min }=\frac{v^{3}}{g\left|v_{x}\right|}=\frac{v_{x}^{3}}{g\left|v_{x}\right|}=\frac{v_{x}^{2}}{g}= \frac{v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha}{g} .

Аналогично можно найти значение тангенциальной составляющей ускорения в любой момент времени:

a_{\tau}=g \sin \beta=g \frac{\left|v_{y}\right|}{v}