Баллистика. Координатный метод

Задача 1

Условие

Из начала декартовой (прямоугольной) системы координат в момент времени t=0 небольшое тело было брошено под углом \alpha к горизонту с поверхности Земли. В таблице приведены результаты измерения координат х и у тела в разные моменты времени. Сопротивление воздуха мало.

Время \mathrm{t}, с

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Координата \mathrm{x}, м

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

Координата \mathrm{y}, м

0,35

0,6

0,75

0,8

0,75

0,6

0,35

0

На основании данных, приведённых в таблице, определите начальную скорость тела, угол броска, время подъёма тела на максимальную высоту, модуль минимальной скорости в процессе полета. Запишите уравнения движения и уравнение траектории.

Решение

Введём систему координат, как показано на рис. 1.

7.1 Уравнения зависимости проекций скорости на координатные оси и уравнения движения имеют вид: v_{x}=v_{0 x}=v_{0} \cos \alpha; \quad v_{y}=v_{0 y}-g t=v_{0} \sin \alpha-g t; \quad

x=v_{0} \cos \alpha t=v_{0 x} t ; \quad y=v_{0 y} t-\frac{g t^{2}}{2}.

В верхней точке траектории скорость тела направлена горизонтально. Поэтому вертикальная составляющая скорости в этот момент времени равна нулю. Приравнивая нулю уравнение v_{y}=v_{0} \sin \alpha-g t , найдём время подъёма тела на максимальную высоту t_{\text {под. }}=\frac{v_{0} \sin \alpha}{g} . Подставив полученное выражение в уравнение y(t) , получим максимальную высоту подъёма тела h=\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 g}= \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} .

Из таблицы видно, что время полёта тела составляет 8 с, а время подъёма на максимальную высоту - 4 с.

Используя уравнение x=v_{0} \cos \alpha t=v_{0 x} t и данные таблицы, определим проекцию начальной скорости на ось x: v_{0 x}=3 м/с.

Используя уравнение h=\frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} и данные таблицы, определим проекцию начальной скорости на ось y: v_{0 y}=4 м/с.

Модуль начальной скорости равен v_{0}=\sqrt{v_{0 x}^{2}+v_{0 y}^{2}}=5 м/с.

В верхней точке траектории скорость направлена горизонтально, значит в этот момент времени v_{y}=0 , а скорость тела в этот момент времени минимальна и равна v_{\min }=v_{0 x}=3 м/с.

Угол броска определим, используя уравнение x=v_{0} \cos \alpha t и данные таблицы: \alpha=\arccos \left(\frac{x}{v_{0} t}\right)=\arccos \left(\frac{2,4}{5 \cdot 0,8}\right) \approx 53^{\circ} .

Уравнения движения имеют вид: x=v_{0 x} t=3 t ; y=v_{0 y} t-\frac{g t^{2}}{2}=4 t- 5 t^{2} .

Уравнение траектории: y=\frac{v_{0 y}}{v_{0 x}} x-\frac{g}{2}\left(\frac{x}{v_{0 x}}\right)^{2}=\frac{4}{3} x-\frac{5}{16} x^{2} .

Ответ x=3 t ; y=4 t- 5 t^{2} ; y=\frac{4}{3} x-\frac{5}{16} x^{2} .

Задача 2

Условие

Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом 30^{\circ} к горизонту. Найти скорость тела через 1,5 с после начала движения. Каков угол между направлением векторов скорости и ускорения в этот момент? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 1. Уравнения зависимости проекций скорости на координатные оси имеют вид: v_{x}=v_{0} \cos \alpha ; v_{y}=v_{0} \sin \alpha-g t .

В любой момент времени модуль скорости равен v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}= \sqrt{\left(v_{0} \cos \alpha\right)^{2}+\left(v_{0} \sin \alpha-g t\right)^{2}} . После подстановки чисел получим v \approx 18 м/с.

Угол между направлением векторов скорости и ускорения в этот момент найдём, используя рисунок 2.

7.2 Получим tg \beta=\frac{v_{x}}{\left|v_{y}\right|} , откуда \beta=\operatorname{arctg}\left(\frac{v_{0} \cos \alpha}{v_{0} \sin \alpha-g t}\right) \approx 74^{\circ} .

Ответ v \approx 18 м/с; \beta \approx 74^{\circ} .