Баллистика. Координатный метод

Задача 7

Условие

Под каким углом \alpha к горизонту нужно бросить тело, чтобы прямые, проведенные из точки бросания и точки падения в точку максимального подъема тела, составляли между собой прямой угол? Считайте, что точки бросания и падения находятся на одном горизонтальном уровне, а сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

Решение

Поскольку точка максимального подъема тела находится на равных расстояниях от точек бросания и падения тела, для выполнения условия задачи дальность полета тела l должна вдвое превышать высоту максимального подъема тела h , то есть l=2 h (см. рис. 5).

7.5 Поскольку дальность полета тела, брошенного со скоростью v_{0} под углом \alpha к горизонту, равна l=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g} , а максимальная высота подъема тела равна h=\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 g} , то после математических преобразований получаем tg \alpha=2 . Откуда \alpha \approx 63^{\circ} .

Ответ \alpha \approx 63^{\circ} .

Задача 8

Условие

Камень бросили вверх с начальной скоростью 10 м/с под углом 30^{\circ} к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, с какой высоты был брошен камень, если его скорость в момент падения на поверхность земли была в 2 раза больше скорости в высшей точке траектории.

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 6.

7.6 В верхней точке траектории модуль скорости камня равен v_{\text {в }}=v_{0 x}= v_{0} \cos \alpha . В момент падения на землю квадрат модуля скорости камня v_{\text {к }}^{2}= v_{x}^{2}+v_{y}^{2}=v_{0 x}^{2}+v_{y}^{2} . По условию v_{\text {к }}=2 v_{\text {в }} . Объединяя записанные выражения, получаем v_{y}=\sqrt{3} v_{0 x} .

Проекция конечной скорости камня на ось у выражается формулой v_{y}= v_{0 y}-g \tau , где \tau - время полёта камня. Объединяя две последние формулы, получим \tau=\frac{v_{0 y}-\sqrt{3} v_{0 x}}{g} .

В момент падения на землю координата у камня равна нулю, тогда 0= h+v_{0 y} \tau-\frac{g \tau^{2}}{2} . Подставляя формулу для времени полёта в последнее выражение, после математических преобразований (в том числе используя основное тригонометрическое тождество и формулу v_{0 y}=v_{0} \sin \alpha ) получим: h=\frac{v_{0}^{2}\left(4 \cos ^{2} \alpha-1\right)}{2 g}=10 м.

Ответ h = 10 м.

Задача 9

Условие

Мячик бросили с некоторой высоты h под углом 30^{\circ} к горизонту. С какой начальной скоростью был произведён бросок, если мячик достиг максимальной высоты над поверхностью земли, равной 2 h , и упал на поверхность земли через время \tau=4 с после броска? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 6. Уравнение движения мячика y(t) имеет вид y=h+v_{0 y} \tau-\frac{g \tau^{2}}{2} и в момент падения координата y=0 .

Проекция скорости на ось у в верхней точке траектории равна нулю v_{y}=v_{0} \sin \alpha-g t_{п}=0 , откуда время подъёма на максимальную высоту t_{\text {п }}=\frac{v_{0} \sin \alpha}{g} . Подставляя время подъёма в уравнение y(t) , найдём выражение для максимальной высоты подъёма, равной по условию 2 h: 2 h=h+v_{0} \sin \alpha t_{\text {п }}- \frac{g t_{п}^{2}}{2}=h+\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 g} .

Из последнего выражения получаем h=\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 g} . Подставляя его в формулу 0=h+v_{0 y} \tau-\frac{g \tau^{2}}{2} , получим после математических преобразований v_{0}=\frac{g \tau(\sqrt{2}-1)}{\sin \alpha} \approx 33 м/с.

Ответ v_{0} \approx 33 м/с.