Баллистика. Координатный метод

Задача 3

Условие

Мяч перелетел через забор, находящийся на расстоянии s от точки броска, почти коснувшись его в верхней точке траектории, где скорость мяча оказалась равной 10 м/с. Найдите расстояние s , если высота забора над уровнем, с которого брошен мяч, равна h=3,2 м.

Решение

Скорость в верхней точке траектории направлена горизонтально. Поэтому v_{y}=v_{0 y}-g t=0 , откуда v_{0 y}=g t . Скорость в верхней точке траектории равна v=v_{0 x} , при этом расстояние до забора составляет s=v_{0 x} t .

Мяч касается забора в верхней точке своей траектории, значит h=\frac{v_{0 y}^{2}}{2 g}= \frac{g t^{2}}{2} . Откуда t=\sqrt{\frac{2 h}{g}}

Следовательно расстояние до забора равно s=v_{x} \sqrt{\frac{2 h}{g}}=8 м.

Ответ s=8 м.

Задача 4

Условие

Тело, брошенное со скоростью 10 м/с под углом 60^{\circ} к горизонту, дважды проходит точки на высоте h=2,5 м. На каком расстоянии друг от друга находятся эти точки?

Решение

Уравнения движения имеют вид: x=v_{0} \cos \alpha t ; y=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} .

На высоте y=h тело побывает дважды в моменты времени t_{1}=\frac{v_{0} \sin \alpha-\sqrt{\left(v_{0} \sin \alpha\right)^{2}-2 g h}}{g} и t_{2}=\frac{v_{0} \sin \alpha+\sqrt{\left(v_{0} \sin \alpha\right)^{2}-2 g h}}{g} .

Расстояние между этими точками составит \Delta s=v_{0} \cos \alpha\left(t_{2}-t_{1}\right)= \frac{2 v_{0} \cos \alpha \sqrt{\left(v_{0} \sin \alpha\right)^{2}-2 g h}}{g} . После подстановки числовых данных получим \Delta s=5 м.

Ответ \Delta s=5 м.

Задача 5

Условие

Тело бросили с земли на землю под некоторым углом к горизонту. Известно, что полёт длился время \tau , а максимальная скорость в процессе движения была больше минимальной в k раз. Определите дальность полёта l .

Решение

Максимальную скорость v_{0} тело, брошенное под углом к горизонту с земли на землю, имеет в начале и в конце броска, а минимальную скорость тело имеет в верхней точке траектории v=v_{x}=v_{0} \cos \alpha . По условию \frac{v_{0}}{v}=\frac{v_{0}}{v_{0} \cos \alpha}=\frac{1}{\cos \alpha}=k

Дальность полёта тела равна l=v_{0} \cos \alpha \tau=\frac{v_{0} \tau}{k} .

Приравнивая нулю уравнение y=v_{0} \sin \alpha \tau-\frac{g \tau^{2}}{2} , получим время полёта снаряда v_{0}=\frac{g \tau}{2 \sin \alpha} . Подставив полученное выражение в формулу для расчёта дальности полёта и воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, получим l=\frac{g \tau^{2}}{2 \sqrt{k^{2}-1}} .

Ответ l=\frac{g \tau^{2}}{2 \sqrt{k^{2}-1}} .

Задача 6

Условие

Камень бросают под углом 60^{\circ} к горизонту со скоростью 10 м/с. Через какое время угол между вектором его скорости и горизонтом составит 30^{\circ} ?

Решение

Заметим, что угол 30^{\circ} между вектором скорости тела и горизонтом будет достигнут дважды: до прохождения высшей точки траектории и после её прохождения.

Из рисунка 3 следует, что tg \beta=\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{v_{0} \sin \alpha-g t_{1}}{v_{0} \cos \alpha} .

7.3 Откуда получаем первый момент времени t_{1}=\frac{v_{0} \sin \alpha-v_{0} \cos \alpha tg \beta}{g} \approx 0,6 с. Из рисунка 4 следует, что tg \beta=\frac{-v_{0} \sin \alpha+g t_{2}}{v_{0} \cos \alpha} .

7.4 Откуда получаем второй момент времени t_{2}=\frac{v_{0} \sin \alpha+v_{0} \cos \alpha tg \beta}{g} \approx 1,2 с.

Ответ t_{1} \approx 0,6 с; t_{2} \approx 1,2 с.