Графический способ решения задач о прямолинейном равноускоренном движении

Задача 1

Условие

Электричка отошла от станции, разгонялась с постоянным ускорением, затем в течение времени t_{р}=1 мин ехала с постоянной скоростью, а потом тормозила с постоянным ускорением до остановки на следующей станции. Расстояние между станциями d=2 км электричка проехала за время t=3 мин. Ускорения электрички при разгоне и торможении различны по модулю. Чему равен модуль скорости равномерного движения электрички?

Решение

Обозначим v_{р} модуль скорости равномерного движения электрички. Начертим примерный график зависимости модуля скорости электрички от времени (рис. 3.1). По условию задачи модули ускорения электрички во время разгона и торможения различны, поэтому углы наклона графика на этих участках к оси времени должны быть тоже различными.

3.3 Воспользуемся тем, что путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком зависимости скорости от времени и осью времени. Получим d=\frac{t_{р}+t}{2} \cdot v_{р} . \text { Отсюда } v_{р}=\frac{2 d}{t_{р}+t}=60\hspace{3pt} \text {км} / \text {ч.}

Ответ v_{р}=60 \hspace{3pt} \text {км} / \text {ч.}

Задача 2

Условие

Двигаясь равноускоренно из состояния покоя, тело проходит некоторое расстояние. Найдите отношение средней скорости тела на второй половине времени движения к средней скорости на первой половине времени движения.

Решение

Воспользовавшись уравнением зависимости скорости от времени при равноускоренном движении из состояния покоя, построим график этой зависимости (рис. 3.2)

3.4 Воспользуемся тем, что путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком зависимости скорости от времени и осью времени.

Путь, пройденный телом за первую половину времени движения: l_{1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{a t}{2} \cdot \frac{t}{2}=\frac{a t^{2}}{8} .

Тогда средняя скорость на этом участке v_{1}=\frac{l_{1}}{t / 2}=\frac{a t}{4} . Путь, пройденный телом за вторую половину времени движения: l_{2}=\frac{\frac{a t}{2}+a t}{2} \cdot \frac{t}{2}=\frac{3 a t^{2}}{8}.

Тогда средняя скорость на этом участке v_{2}=\frac{l_{2}}{t / 2}=\frac{3 a t}{4} . Получаем отношение средней скорости тела на второй половине времени движения к средней скорости на первой половине времени движения: \frac{v_{2}}{v_{1}}=3 .

Ответ \frac{v_{2}}{v_{1}}=3 .

Задача 3

Условие

Автомобиль первую половину пути двигался равномерно со скоростью 36 км/ч, а вторую половину пути - равноускоренно. Определить среднюю путевую скорость автомобиля, если в конце рассматриваемого участка его скорость равна 108 км/ч.

Решение

Построим график зависимости скорости автомобиля от времени (рис. 3.3).

3.5 Путь, пройденный автомобилем за время t_{1} , равен \frac{l}{2}=v_{1} t_{1} , а за время t_{2} путь равен \frac{l}{2}=\frac{v_{1}+v_{2}}{2} t_{2} .

Средняя путевая скорость автомобиля v_{ср .}=\frac{l}{t_{1}+t_{2}} . Выразив промежутки времени t_{1} и t_{2} из двух первых уравнений и подставив в последнюю формулу, получим

v_{\text {ср }}=\frac{l}{\frac{l}{2 v_{1}}+\frac{l}{v_{1}+v_{2}}}=\frac{2 v_{1}\left(v_{1}+v_{2}\right)}{3 v_{1}+v_{2}}=48 \hspace{3pt} \text {км} / \text {ч.} Ответ v_{\text {ср }}=48 \hspace{3pt} \text {км} / \text {ч.}

Задача 4

Условие

Тело, имея скорость 0,5 м/c, разгоняется с ускорением 1 м / c^2 . Какое расстояние пройдёт тело за n -ую секунду движения?

Решение

Обозначим последнюю секунду \tau , а время до начала последней секунды t_{1} . Тогда воспользовавшись уравнением зависимости скорости от времени, построим график этой зависимости (рис. 3.4).

3.6 Воспользуемся тем, что путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком зависимости скорости от времени и осью времени. Путь, пройденный телом за n -ую секунду l=\frac{v_{0}+a t_{1}+v_{0}+a\left(t_{1}+\tau\right)}{2} \cdot \tau=v_{0} \tau+a t_{1} \tau+\frac{a \tau^{2}}{2}.

Всё время движения с одной стороны t_{\text {всё }}=n t_{1} , а с другой стороны t_{\text {всё }}=t_{1}+\tau . Отсюда получаем t_{1}=\tau(n-1) .

Подставляя полученное выражение в формулу пути и выполнив численную подстановку, получаем l=n метров.

Ответ l=n м.