Графический способ решения задач о прямолинейном равноускоренном движении

Задача 7

Условие

Автомобиль трогается с места и первый километр проходит с ускорением a_{1} , а второй - с ускорением a_{2} . При этом на первом километре его скорость возросла на 10 м / c , а на втором - на 5 м / c . Что больше по модулю: a_{1} или a_{2} ?

Решение

Обозначим время движения на первом участке t_{1} , а на втором участке t_{2} . Тогда воспользовавшись уравнением зависимости скорости от времени, построим график этой зависимости (рис. 3.7), показав на нём изменения скорости на каждом из участков.

3.9 Воспользуемся тем, что путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком зависимости скорости от времени и осью времени.

Путь, пройденный телом за время t_{1} равен l_{1}=\frac{\Delta v_{1} t_{1}}{2} , а за время t_{2} равен l_{2}=\frac{\Delta v_{1}+\left(\Delta v_{1}+\Delta v_{2}\right)}{2} \cdot t_{2} \cdot Из этих формул можно выразить времена движения на каждом участке.

Найдём отношение ускорений: \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\Delta v_{2} t_{1}}{\Delta v_{1} t_{2}}=\frac{2 \Delta v_{1} \Delta v_{2}+\Delta v_{2}^{2}}{\Delta v_{1}^{2}}=\frac{2 \cdot 10 \cdot 5+5^{2}}{10^{2}}=1,25 .

Таким образом, на втором участке ускорение больше.

Ответ a_2 больше по модулю чем a_1 .

Задача 8

Условие

Поезд, трогаясь с места, проходит два смежных участка пути, длины которых относятся, как 2: 3 , с разными по величине ускорениями. Найти отношение этих ускорений, если промежутки времени, затраченные на прохождение соответствующих участков, относятся, как 3:2.

Решение

Обозначим время движения на первом участке t_{1} , а на втором участке t_{2} . Тогда воспользовавшись уравнением зависимости скорости от времени, построим график этой зависимости (рис. 3.8), учитывая разное ускорение на двух участках.

3.10 Путь, пройденный телом за время t_{1} равен l_{1}=\frac{a_{1} t_{1}^{2}}{2} , а за время t_{2} равен l_{2}=\frac{a_{1} t_{1}+a_{1} t_{1}+a_{2} t_{2}}{2} \cdot t_{2}

Учтём, что t_{1}=\frac{3}{2} t_{2} и \frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{2}{3} , получим после математических преобразований отношение ускорений \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{3}{8} .

Таким образом, использование графиков зависимости скорости от времени чаще всего упрощает решение задач, позволяя использовать меньшее число уравнений.

Ответ \frac{3}{8} .