Графический способ решения задач о прямолинейном равноускоренном движении

Задача 5

Условие

Автомобиль движется с постоянным ускорением и проходит путь 20 м за 4 с, а следующий участок пути 40 м за 5 с. Определить ускорение автомобиля.

Решение

Обозначим начальную скорость автомобиля v_{0} и время \tau до начала участка t_{1} . Воспользовавшись уравнением зависимости скорости от времени, построим график этой зависимости (рис. 3.5).

3.7 Воспользуемся тем, что путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком зависимости скорости от времени и осью времени.

Путь, пройденный автомобилем за время t_{1}: l_{1}=\frac{v_{0}+a \tau+v_{0}+a\left(t_{1}+\tau\right)}{2} \cdot t_{1}=v_{0} t_{1}+a t_{1} \tau+\frac{a t_{1}^{2}}{2}.

Путь, пройденный автомобилем за время t_{2}: l_{2}=\frac{v_{0}+a \tau+a t_{1}+v_{0}+a\left(t_{1}+t_{2}+\tau\right)}{2} \cdot t_{2}=v_{0} t_{2}+a t_{2} \tau+a t_{1} t_{2}+\frac{a t_{2}^{2}}{2}.

Выразив начальную скорость тела v_{0} из уравнения для l_{1} и подставив в уравнение для l_{2} , найдём ускорение автомобиля:

a=\frac{2\left(l_{2} t_{1}-l_{1} t_{2}\right)}{t_{1} t_{2}\left(t_{1}+t_{2}\right)} \approx 0,67 \hspace{3pt}\text{м} / \text{c}^2. Ответ a \approx 0,67 м / c^2 .

Задача 6

Условие

К какому моменту времени от начала движения путь, пройденный телом за последнюю секунду, в два раза больше пути, пройденного в предыдущую секунду, если движение происходит без начальной скорости?

Решение

Обозначим каждую секунду \tau , а время до начала предпоследней секунды t . Тогда воспользовавшись уравнением зависимости скорости от времени, построим график этой зависимости (рис. 3.6).

3.8 Воспользуемся тем, что путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком зависимости скорости от времени и осью времени.

Путь, пройденный телом за предпоследнюю секунду l_{1}=\frac{a t+a(t+\tau)}{2} \cdot \tau=a t \tau+\frac{a \tau^{2}}{2}.

Путь, пройденный телом за последнюю секунду l_{2}=\frac{a(t+\tau)+a(t+2 \tau)}{2} \cdot \tau=a t \tau+1,5 a \tau^{2}.

По условию задачи l_{2}=2 l_{1} . После математических преобразований получаем t=0,5 \tau . Тогда t_{\text {всё }}=t+2 \tau=2,5 \tau=2,5 c .

Ответ t_{\text {всё }} =2,5 c .