Прямолинейное равноускоренное движение: координаты, путь и перемещение.

Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении.

Для вывода уравнения зависимости координаты тела от времени воспользуемся графическим способом.

Путь, пройденный за какой-либо промежуток времени, численно выражается площадью, ограниченной осью времени, графиком скорости и двумя вертикальными отрезками, проведёнными из точек, соответствующих началу и кониу данного промежутка времени.

Пусть, например, график зависимости скорости от времени имеет вид кривой, изображённой на рисунке 2.1.

Разобьём мысленно всё время движения на столь малые промежутки, чтобы в течение каждого из них движение тела можно было считать практически равномерным (это разбиение показано штриховыми линиями на рисунке 2.1).

Тогда путь, пройденный за каждый такой промежуток, численно равен площади фигуры под соответствующим участком графика. Поэтому и весь путь равен площади фигуры, заключённой под всем графиком.

Применим теперь этот способ нахождения пути к прямолинейному равноускоренному движению.

Пусть тело движется равноускоренно из состояния покоя. Направим ось x в сторону ускорения тела. График зависимости проекции скорости на ось x от времени t представляет собой прямоугольный треугольник с катетами v_{x}= a_{x} t и t (рис. 2.2).

Тогда проекция перемещения на ось x выражается формулой:

s_{x}=\frac{a_{x} t^{2}}{2}.

Если тело движется прямолинейно с начальной скоростью \vec{v}_{0} и ускорением \vec{a} , то график зависимости проекции скорости на ось x от времени t выглядит так, как показано на рисунке 2.3.

В этом случае фигурой под графиком является трапеция, а значит, проекцию перемещения можно найти, как площадь трапеции:

\begin{gathered}

s_{x}=\frac{v_{0 x}+v_{x}}{2} \cdot t=\frac{v_{0 x}+v_{0 x}+a_{x} t}{2} \cdot t \quad \Rightarrow \\

s_{x}=v_{0 x} t+\frac{a_{x} t^{2}}{2}.

\end{gathered}

Если тело не меняло направления своего движения, то путь, пройденный телом, равен модулю проекции перемещения. Если же скорость меняет направление, то путь складывается из модуля перемещения до момента изменения направления скорости и модуля перемещения после этого момента Покажем это на примере.

Как видно из графика v_{x}(t) (рис. 2.4), через 2 с после начала наблюдения тело изменило направление скорости (об этом говорит смена знака проекции скорости на ось x ). Выделим цветом на этом графике две области. Проекция перемещения тела за первые две секунды равна площади выделенного треугольника s_{1 x}=\frac{4 \cdot 2}{2}=4 \text{ м} , а проекция перемещения тела в интервале времени [2;10] с равна площади трапеции, взятой со знаком «минус» S_{2 x}= -\frac{5+8}{2} \cdot 2=-13 м. Тогда проекция перемещения тела за 10 с равна сумме проекций перемещения на каждом из участков s_{x}=s_{1 x}+s_{2 x}=4+(-13)=- 9 м. Путь же равен сумме модулей этих проекций: l=4+13=17 м.

Учитывая, что проекция перемещения на ось x равна разности координаты тела в данный момент времени и начальной координаты, получим уравнение зависимости координаты тела от времени или уравнение прямолинейного равноускоренного движения:

\begin{gathered}

s_{x}=x-x_{0}=v_{0 x} t+\frac{a_{x} t^{2}}{2} \Rightarrow \\

x=x_{0}+v_{0 x} t+\frac{a_{x} t^{2}}{2}.

\end{gathered}

Проекцию перемещения на ось y можно найти точно таким же способом.

Если равноускоренное движение происходит в плоскости, в которой лежат векторы начальной скорости и ускорения, и через эти векторы проведена координатная плоскость xoy , то для описания движения тела достаточно будет двух уравнений x(t) и y(t) :

\begin{aligned} x=x_{0}+v_{0 x} t+\frac{a_{x} t^{2}}{2}, \\

y=y_{0}+v_{0 y} t+\frac{a_{y} t^{2}}{2}.

\end{aligned}

Эти формулы можно применять не только в случае прямолинейного движения (тогда ось x следует направить по прямой, вдоль которой движется тело), но и в случае криволинейного движения. Важно лишь, чтобы ускорение было постоянным. Обратимся к рисунку 2.5 и снова найдём площадь фигуры под графиком v_{x}(t): s_{x}=\frac{v_{0 x}+v_{x}}{2} t . Обратите внимание, дробь, входящая в эту формулу, является средней скоростью. Площади окрашенных треугольников на рисунке равны. Значит площадь трапеции под графиком v_{x}(t) равна площади прямоугольника, одна сторона которого равна v_{c p} , а вторая - времени t .

Площадь под графиком можно найти и, если из площади прямоугольника, ограниченного сторонами v_{x} n t , вычесть площадь окрашенного треугольника (рис. 2.6).

В этом случае проекция перемещения на ось x будет иметь вид:

s_{x}=v_{x} t-\frac{a_{x} t^{2}}{2}.

В эту формулу входит не проекция начальной скорости, а проекция конечной скорости и в формуле появился знак «минус», который не имеет никакого отношения к знаку проекции ускорения.

Если тело движется равноускоренно с начальной скоростью v_{0} и не меняет направления движения, при этом векторы начальной скорости и ускорения сонаправлены, то путь, пройденный телом, можно рассчитать по формуле l=v_{0} t+\frac{a t^{2}}{2} , при этом модуль скорости меняется по закону v=v_{0}+ at . Выразим из последнего уравнения модуль ускорения и подставим в формулу для расчёта пути, получим

l=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2 a} .

В эту формулу, в отличие от предыдущих, не входит время t . Можно доказать, что в случае равнозамедленного движения путь, пройденный телом в одном направлении, можно рассчитать по формуле

l=\frac{v_{0}^{2}-v^{2}}{2 a} .

В этих формулах мы оперировали модулями начальной скорости, скорости тела в данный момент времени и ускорения.

Таким образом, при прямолинейном равноускоренном движении справедливы следующие выражения:

v_{x}=v_{0 x}+a_{x} t ;

s_{x}=v_{0 x} t+\frac{a_{x} t^{2}}{2} ;

x=x_{0}+v_{0 x} t+\frac{a_{x} t^{2}}{2} ;

s_{x}=\frac{v_{0 x}+v_{x}}{2} \cdot t ;

s_{x}=v_{x} t-\frac{a_{x} t^{2}}{2} ;

l=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2 a} или l=\frac{v_{0}^{2}-v^{2}}{2 a} .

Используя их, можно решить любую задачу на равноускоренное движение материальной точки. Кроме того, они позволяют ответить на основные вопросы кинематики: где находится тело и как оно движется.