Прямолинейное равноускоренное движение: координаты, путь и перемещение.

Пример 1. По графике зависимости (рис. 2.15) проекции скорости от времени v_{x}(t) , постройте качественные графики зависимостей координаты от времени x(t) , проекции ускорения от времени a_{x}(t) , проекции скорости от координаты v_{x}(x) .

Как видно из рисунка, тело движется равноускоренно. Проекции начальной скорости и ускорения на ось x положительные. Уравнение движения (при x_{0}=0 и v_{0 x}>0 ) имеет вид x=v_{0} t+\frac{a t^{2}}{2} . Для получения зависимости проекции скорости от координаты v_{x}(x) следует выразить время из уравнения v_{x}=v_{0}+at и, подставив в уравнение движения x(t) , получить выражение v_{x}=\sqrt{v_{0}^{2}+2 a x} . Графики, соответствующие этому случаю, приведены на рисунках 2.16, a - в.

Пример 2. Материальная точка движется вдоль оси x так, что проекция её ускорения на ось x изменяется с течением времени так, как показано на рисунке 2.17. Постройте графики зависимости v_{x}(t), x(t), l(t) , если v_{0 x}=0, x_{0}=2 м.

Для построения графиков v_{x}(t) и x(t) запишем уравнения зависимости v_{x}(t) для каждого промежутка времени с учётом начальных условий v_{0 x}=0, x_{0}= 2 м .

В промежутке времени [0; 2] с тело движется равноускоренно с начальной скоростью 0 \text{ м} / \text{с} противоположно положительному направлению оси x . Проекция ускорения на ось x равна a_{1 x}=-2 \text{ м} / \text{с}^{2} . Тогда проекция скорости на ось x на этом участке изменяется по закону v_{1 x}=-2 t . Уравнение движения имеет вид x=2-t^{2} . В конце этого промежутка материальная точка будет находиться в точке с координатой x_{1}=2-2^{2}=-2 м.

В промежутке времени [2; 7] с тело движется равномерно. На этом участке проекция скорости всё время равна проекции скорости в конце второй секунды на первом участке: v_{2 x}=-2 \cdot 2=-4 м/с. Уравнение движения имеет вид x_{2}=-2-4 t . В конце этого промежутка материальная точка будет находиться в точке с координатой x_{2}=-2-4 \cdot 5=-22 м.

В промежутке времени [7; 10] с тело движется равноускоренно, проекция её начальной скорости на этом участке равна проекции скорости в конце 7-ой секунды, то есть -4 \text{ м} / \text{с} , при этом вектор скорости направлен противоположно положительному направлению оси x . Проекция ускорения на ось x равна a_{3 x}=2 \text{ м} / \text{с}^2 . Тогда проекция скорости на ось x на этом участке изменяется по закону v_{3 x}=-4+2 t и через 3 с будет равна v_{3 x}=-4+2 . 3=2 м/с. Уравнение движения имеет вид x_{3}=-22-4 t+t^{2} . В конце этого промежутка материальная точка будет находиться в точке с координатой x_{3}= -22-4 \cdot 3+3^{2}=-25 м. Для построения графика x(t) на этом участке надо найти вершину параболы:

t_{\mathrm{B}}=2 \text{с}, x_{\mathrm{B}}=-26 \text{ м} .

Графики зависимости v_{x}(t), x(t) и l(t) изображены на рисунках 18, a - в.