Движение по вертикали под действием силы тяжести.

Свободное падение

Ярким примером прямолинейного равноускоренного движения является свободное падение тела. При падении любого тела на землю из состояния покоя его скорость увеличивается, при этом ускорение, сообщаемое Землёй телам направлено вертикально вниз. Долгое время считалось, что тяжёлые тела падают быстрее, чем лёгкие. Так, если отпустить одновременно лист бумаги и монету, монета упадёт на землю быстрее. А что будет, если монету положить сверху на лист бумаги и отпустить? Они упадут одновременно.

Галилею удалось опытным путём доказать, что именно сопротивление воздуха приводит к такой разнице в падении тел. Так как падение тел происходит очень быстро, Галилей догадался, что свободное падение можно замедлить, скатывая шары по наклонному жёлобу, получив при этом зависимость пути от времени s=\frac{a t^{2}}{2} . Используя шары одинакового диаметра, изготовленные из разных веществ, Галилей обнаружил, что все они движутся с одинаковым ускорением, причём это ускорение увеличивается с увеличением угла наклона жёлоба. Если же жёлоб установить вертикально, получим свободное падение. Знаменитый опыт Галилея по свободному падению различных тел с наклонной Пизанской башни показал, что Земля всем телам вблизи поверхности сообщает одинаковое ускорение.

Свободным падением называют движение тела под действием только силы тяжести.

Ускорение тел при свободном падении называют ускорением свободного падения и обозначают g . Измерения показали, что g=9,8 \text{ м} / \text{с}^{2} . Модуль ускорения свободного падения зависит от высоты над поверхностью Земли и широты местоположения тела. При решении школьных задач для упрощения расчётов обычно принимают g=10 \text{ м}/ \text{с}^{2} .

Понятно, что в реальности на любое тело действует не только сила тяжести, но и другие силы, например, сопротивление воздуха. Поэтому свободное падение - это модель. Но когда с небольшими скоростями движутся малые по размеру тела с большой плотностью, например, камень, спортивное ядро, сопротивление воздуха незначительно и движение тел можно рассматривать как свободное падение.

Рассмотрим сначала свободное падение тела без начальной скорости. Направим ось x по горизонтали вправо, а ось y - вертикально вверх (рис. 3.1). Начало координат выберем на поверхности земли. Обозначим h начальную высоту тела.

Свободно падающее тело движется с ускорением \vec{g} , и поэтому при равной нулю начальной скорости скорость тела в момент времени t выражается формулой \vec{v}=\vec{g} t . Проекция скорости на ось y равна v_{y}=gt . Таким образом, за каждую секунду скорость свободно падающего тела увеличивается на 10 \text{ м} / \text{с} .

Графики зависимости проекции и модуля скорости от времени изображены на рисунках 3.2 a, б.

Уравнение движения y=y_{0}+v_{0 y} t+\frac{a_{y} t^{2}}{2} в случае свободного падения с высоты h принимает вид y=h-\frac{g t^{2}}{2} . На рисунке 3.3 изображён пример графика зависимости y(t) для свободно падающего тела до момента его падения на землю.

В момент падения на землю y=0 , отсюда можно найти время падения тела на землю:

y_{\text{п}}=h-\frac{g t_{\text{п}}^{2}}{2}=0 \quad \Rightarrow \quad t_{\text{п}}=\sqrt{\frac{2 h}{g}}.

Зная время падения тела с высоты h можно найти скорость перед ударом о землю:

v=g t_{\text {п }}=\sqrt{2 g h}.

Перепишем эту формулу в другом виде h=\frac{v^{2}}{2 g} , которую можно было записать, вспомнив знакомую формулу пути, пройденного телом при равноускоренном движении, l=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2 a} и учтя, что a=g .

График зависимости пути от времени свободно падающего с высоты h тела изображён на рисунке 3.4.

Если выбрать направление оси у так, как показано на рисунке 3.5, то уравнение зависимости y(t) для свободно падающего тела примет вид y=\frac{g t^{2}}{2} , что зачастую удобнее при решении задач.

Из последнего выражения следует, что пути, проходимые свободно падающим из состояния покоя телом, пропорциональны квадрату времени. А пути, проходимые за последовательные равные промежутки времени, относятся, как последовательные нечётные числа, начиная с единицы.