Движение по вертикали под действием силы тяжести.

Последний этап падения.

В условиях некоторых задач о свободном падении тел приводятся иногда сведения только о последнем этапе падения. Например, дано расстояние, которое пролетело тело за последнюю секунду падения. Или дано время, в течение которого тело пролетело последний метр своего пути.

Рассмотрим эту ситуацию в общем виде, а затем вернёмся к ней на семинаре и решим несколько задач по этой ситуации.

Тело, свободно падающее с некоторой высоты без начальной скорости, пролетело последний участок пути длиной / за промежуток времени \tau . Опишем эту ситуацию сначала аналитически.

Направим ось у вертикально вниз, за начало отсчёта примем начальное положение тела (рис. 3.6). Обозначим скорость перед ударом о землю \vec{v}_{\text{к}} , а \vec{v}_{1} - скорость тела в момент, когда ему осталось пролететь до земли расстояние l .

Тогда можно записать

v_{\text {к }}=v_{1}+g \tau ; l=v_{1} \tau+\frac{g \tau^{2}}{2} .

Выразив v_{1} из первой форумы и подставив во вторую, получим после математических преобразований v_{\text {к }}=\frac{2 l+g \tau^{2}}{2 \tau} .

Найдя конечную скорость тела при падении, можно легко найти любые величины, относящиеся к падению тела: например, его начальную высоту, время падения или, скажем, скорость тела в момент, когда оно пролетело половину пути.

Так высота, с которой падало тело равна h=\frac{v_{\text{к}}^{2}}{2 g}=\frac{\left(2 l+g \tau^{2}\right)^{2}}{8 g \tau^{2}} , а время падения t_{\text {п }}=\frac{v_{\text{к}}}{g}=\frac{2 l+g \tau^{2}}{2 g \tau} .

Обратите внимание: мы не искали сразу ответ на поставленный вопрос, а сами ставили вопросы, раскрывая информацию, скрытую в описании ситуации. И это позволило довольно быстро узнать об этой ситуации всё!

Можно пойти и другим путём. Пусть расстояние h тело пролетает за время t_{\text{к}} , расстояние l_{1} за время ( t_{\text{к}} â \tau ) (см. рис. 3.7).

Тогда расстояние l , пройденное за последний промежуток времени \tau , равно l=h-l_{1}=\frac{g t_{\text {п }}^{2}}{2}-\frac{g\left(t_{\text{п}}-\tau\right)^{2}}{2} , откуда t_{\text {п }}=\frac{2 l+g \tau^{2}}{2 g \tau} .

Зная время полёта, находим и скорость тела перед ударом о землю v_{\text {к }}= g t_{\text {п }}=\frac{2 l+g \tau^{2}}{2 \tau} , и высоту, с которой падало тело h=\frac{g t_{\text {I }}^{2}}{2}=\frac{\left(2 l+g \tau^{2}\right)^{2}}{8 g \tau^{2}} , и ответы на многие другие вопросы по данной ситуации.

Вспомним также о графическом способе решения задач. Зависимость скорости свободно падающего без начальной скорости тела от времени выражается формулой v=g t . Построим график этой зависимости (рис. 3.8).

Путь, пройденный телом за время \tau , равен площади трапеции, указанной на рисунке:

l=\frac{g t+g(t-\tau)}{2} \tau.

Откуда сразу находим время полёта тела t_{\text {п }}=\frac{2 l+g \tau^{2}}{2 g \tau} . Отсюда, как было указано выше, можно найти ответы на любые другие вопросы по данной ключевой ситуации.

В очередной раз убеждаемся, что графический способ решения задач оказывается более быстрым по сравнению с аналитическим способом.