Движение по вертикали под действием силы тяжести.

Движение тела, брошенного вертикально вверх.

Для рассмотрения движения тела, брошенного вертикально вверх, направим ось у вверх (рис. 3.10). Такой выбор оси у будет удобен в дальнейшем при рассмотрении движения тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.

Если тело движется с ускорением \vec{g} , то зависимость скорости \vec{v} тела от времени t при любой начальной скорости тела, в том числе и направленной вверх, выражается формулой \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{g} t . В проекциях на ось y: v_{y}=v_{0}-g t .

Таким образом, при движении вверх скорость тела уменьшается и в верхней точке траектории происходит смена направления движения, при этом v_{\text {в }}=0 . Отсюда можно найти время движения тела до верхней точки траектории: t_{\text {п }}=\frac{v_{0}}{g} . Значит время подъёма тела определяется только начальной скоростью тела.

Запишем формулу, выражающую зависимость координаты y от времени t тела, брошенного вертикально вверх: y=v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} . Используя эту формулу, можно выяснить, на какой высоте над поверхностью земли находится тело в любой момент времени.

Максимальную высоту подъёма тела можно найти, подставляя выражение t_{\text{п}}=\frac{v_{0}}{g} в уравнение движения. Получим после математических преобразований h_{\max }=\frac{v_{0}^{2}}{2 g} , то есть высота подъёма тела определяется только начальной скоростью тела. Это же выражение для h_{\max } можно было найти, воспользовавшись уже знакомой формулой h=\frac{v_{0}^{2}-v^{2}}{2 g} и учтя равенство нулю скорости тела в высшей точке траектории.

Используя формулу для зависимости y(t) , выведем формулу, выражающую время полёта тела t_{\text {пол. }} до его падения на землю через v_{0} и g. Учтём, что в момент падения на землю y=0 , получим t_{\text {пол. }}=\frac{2 v_{0}}{g} , то есть в 2 раза больше времени подъёма тела на максимальную высоту. Учтите, что использовать это равенство, как готовое, на ЕГЭ нельзя!

Итак, если можно пренебречь сопротивлением воздуха, то полёт тела, брошенного вертикально вверх, естественно разбивается на два этапа, занимающие одинаковое время, - движение вверх и последующее падение вниз в начальную точку.

Каждый из этих этапов представляет собой как бы «обращённый во времени» другой этап. Поэтому если мы снимем на видеокамеру подъём брошенного вверх тела до верхней точки, а потом будем показывать кадры этой видеосъёмки в обратном порядке, то зрители будут уверены, что они наблюдают падение тела. И наоборот: показанное в обратном порядке падение тела будет выглядеть в точности как подъём тела, брошенного вертикально вверх. Этот приём используют в кино: снимают, например, артиста, который спрыгивает с высоты 2-3 м , а потом показывают эту съёмку в обратном порядке. И мы восхищаемся героем, легко взлетающим на высоту, недостижимую для рекордсменов.

Чтобы выяснить, с какой скоростью тело упадёт на землю, подставим t_{\text {пол}} . в уравнение v_{y}(t) , получим v_{y}=\hat{a} v_{0} . Таким образом, скорость тела при падении на землю по модулю равна начальной скорости тела.

Графики зависимости проекции и модуля скорости от времени тела, брошенного вертикально вверх с поверхности земли, изображены на рисунках 3.11 a, б.

Вернёмся к уравнению движения y=v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} . Видим, что зависимость координаты от времени квадратичная функция, а значит графиком зависимости y(t) является парабола (рис. 3.12).

Обратим внимание на симметричность графика зависимости y(t) . На одной и той же высоте, меньшей h_{\text {max }} , тело в течение полёта бывает дважды с некоторым интервалом времени \Delta t . При этом данный интервал можно разбить на два одинаковых промежутка времени, за который тело поднимается до h_{\max } , а затем падает до данной точки. Однако, использовать этот факт, как готовый, на ЕГЭ нельзя.

Для построения графика пути от времени следует правую часть графика y(t) отразить вверх (рис. 3.13).

Если тело будет поймано не на поверхности земли, а выше, то график зависимости пути от времени будет, соответственно короче, при этом график зависимости координаты у от времени также будет представлять собой часть параболы (см. рис. 3.14, a-г). В случае, когда тело поймано до достижения верхней точки траектории, график зависимости пути от времени полностью совпадает с графиком зависимости координаты от времени (см. рис. 3.14, в, г).

Тело брошено с некоторой высоты h_{0} над поверхностью земли вертикально вверх с начальной скоростью v_{0}

Если тело брошено с некоторой высоты h_{0} над поверхностью земли вертикально вверх с начальной скоростью v_{0} , то уравнение зависимости координаты от времени имеет вид y=h_{0}+v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} . Это вновь квадратичная функция, график которой приведён на рисунке 3.15.

Обратим внимание на то, что в этом случае время подъёма тела на максимальную высоту и последующее время падения на землю не равны.