Движение по вертикали под действием силы тяжести.

Пример 1. С балкона, находящегося на высоте h от поверхности земли, брошены с одинаковыми скоростями камень A вертикально вверх и камень B вертикально вниз. Известно, что камень A достиг верхней точки своей траектории одновременно с падением на землю камня B. Какой максимальной высоты (от поверхности земли) достиг камень A ?

Введём систему координат, как показано на рисунке 3.16.

Запишем уравнение движения камня B (учтём при этом равенство по модулю начальных скоростей обоих камней):

y_{B}=h-v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2}.

Путь, пройденный камнем A до верхней точки траектории равен h_{\max }- h=\frac{v_{0}^{2}}{2 g} , при этом скорость камня A меняется по закону v_{A}=v_{0}-g t . В верхней точке траектории v_{A}=0 , отсюда время подъёма камня A (равное времени падения камня B) равно t=\frac{v_{0}}{g} .

Подставляя полученное выражение в уравнение движения камня B и учтя, что в момент падения на землю y_{B}=0 , получим v_{0}=\sqrt{\frac{2 g h}{3}} . Тогда максимальная высота подъёма камня A равна h_{\max }=h+\frac{v_{0}^{2}}{2 g}=\frac{4}{3} h .

Пример 2. Тело, брошенное вертикально вверх с высоты h=2 м над поверхностью земли, упало на землю через время \tau=2 с после броска. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на какую максимальную высоту относительно земли поднималось тело при своём движении.

Введём систему координат, как показано на рисунке 3.17.

Движение тела описывается уравнениями y=h+v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} ; v_{y}=v_{0}- g t и h_{\max }-h=\frac{v_{0}^{2}}{2 g} (учитывая, что в верхней точке траектории v_{y}=0 ).

В момент падения на землю y=0 , при этом t=\tau . Из уравнения движения найдём начальную скорость тела:

v_{0}=\frac{\frac{g \tau^{2}}{2}-h}{\tau}.

Тогда после подстановки h_{\max }=h+\frac{v_{0}^{2}}{2 g}=h+\frac{\left(g \tau^{2}-2 h\right)^{2}}{8 g \tau^{2}} . Обратим внимание на то, что безвременная формула y=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2 a} упрощает решение задач. Попробуйте решить предложенную задачу, используя только уравнения y=h+v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} ; v_{y}=v_{0}-g t .

Пример 3. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Сколько времени камень будет находиться на высоте большей 15 м? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Введём систему координат, как показано на рисунке 3.18.

Движение камня описывается уравнениями y=v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} ; v_{y}=v_{0}-g t . Найдём моменты времени, когда камень оказывается в точке с координатой y_{1}=h . Для этого надо найти корни квадратного уравнения h= v_{0} t_{1}-\frac{g t_{1}^{2}}{2} . Ими будут t_{1}=\frac{v_{0}-\sqrt{v_{0}^{2}-2 g h}}{g} и t_{2}=\frac{v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}-2 g h}}{g} . Отсюда находим промежуток времени, в течение которого камень будет находиться на высоте большей h :

\Delta t=t_{2}-t_{1}=\frac{2 \sqrt{v_{0}^{2}-2 g h}}{g}=\frac{2 \sqrt{20^{2}-2 \cdot 10 \cdot 15}}{10}=2 \text{с}.