Решение задач о свободном падении тел

Задача 5

Условие

Тело, свободно падающее без начальной скорости с некоторой высоты, за время \tau=2 с от начала движения проходит путь в n=7 раз меньший, чем за такой же промежуток времени \tau в конце движения. Найдите высоту h , с которой падало тело.

Решение

Решим задачу с помощью графика зависимости скорости от времени (рис. 4.4).

4.5 Обозначим t - время всего полёта с высоты h, l_{1} - путь, пройденный телом за первый промежуток времени \tau, l_{2} - путь, пройденный телом за последний промежуток времени \tau . Тогда можно записать h=\frac{g t^{2}}{2} ; l_{1}=\frac{g \tau^{2}}{2} ; l_{2}=\frac{g t+g(t-\tau)}{2} \tau=\frac{2 g t \tau-g \tau^{2}}{2} .

Учитывая, что по условию задачи l_{2}=n l_{1} , находим время полёта тела t=\frac{\tau(n+1)}{2} .

Тогда высота, с которой упало тело, равна h=\frac{g \tau^{2}(n+1)^{2}}{2}=320 м.

Предлагаем вам самостоятельно решить эту задачу аналитически.

Задача 6

Условие

Тело, падающее с некоторой высоты без начальной скорости, первый отрезок пути прошло за время t в 2 раза большее, чем такой же последний отрезок. Найдите высоту h , с которой падало тело.

Решение

Снова решим задачу графически (см. рис. 4.5).

4.6 Первый отрезок пути численно равен площади треугольника l_{1}=\frac{g \Delta t^{2}}{2}= 2 g \tau^{2} , а второй - площади трапеции l_{2}=\frac{g t+g(t-\tau)}{2} \tau=\frac{g}{2}\left(2 t \tau-\tau^{2}\right) (здесь учли, что первый временной отрезок в 2 раза больше, чем такой же последний отрезок).

Учитывая, что l_{2}=l_{1}=l , находим время полёта тела t=\frac{5 \tau}{2} . Тогда высота, с которой упало тело, равна h=\frac{g t^{2}}{2}=\frac{25 g \tau^{2}}{8}=\frac{25}{32} g \Delta t^{2}.

Ответ h=\frac{25}{32} g \Delta t^{2} .

Задача 7

Условие

От карниза крыши оторвались с некоторым промежутком времени две капли. Спустя 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями равно 20 м. Чему равен промежуток времени между отрывом капель?

Решение

Обозначим t - время полёта второй капли, тогда первая капля летела ( t+\tau ) секунд. Пути, пройденные каплями за это время равны соответственно l_{1}=\frac{g t^{2}}{2} ; l_{2}=\frac{g(t+\tau)^{2}}{2} . Расстояние между каплями равно \Delta l= l_{2}-l_{1}=\frac{g}{2}\left(2 t \tau+\tau^{2}\right)

Решая квадратное уравнение относительно промежутка времени \tau между отрывом капель, получим

\tau=-t+\sqrt{t^{2}+\frac{2 \Delta l}{g}}=-2+\sqrt{2^{2}+\frac{2 \cdot 20}{10}} \approx 0,83 с. Ответ \tau \approx 0,83 с.

Задача 8

Условие

С крыши дома оторвалась маленькая сосулька, которая за время \tau=0,2 с пролетела мимо окна высотой h=1,5 м. С какой высоты относительно верхнего края окна упала сосулька?

Решение

Будем считать маленькую сосульку материальной точкой. До верхнего края окна сосулька пролетает расстояние H=\frac{g t^{2}}{2} , а до нижнего края от момента отрыва от крыши расстояние H+h=\frac{g(t+\tau)^{2}}{2} . Отсюда после математических преобразований находим время полёта сосульки от момента отрыва от крыши до верхнего края окна: t=\frac{2 h-g \tau^{2}}{2 g \tau}.

Подставляя это выражение в первую формулу, получаем H=\frac{\left(2 h-g \tau^{2}\right)^{2}}{8 g \tau^{2}}=\frac{\left(2 \cdot 1,5-10 \cdot 0,2^{2}\right)^{2}}{8 \cdot 10 \cdot 0,2^{2}} \approx 2,1 м.

Ответ H \approx 2,1 м .