Решение задач о свободном падении тел

Задача 9

Условие

Свободно падая без начальной скорости с некоторой высоты, тяжёлый шарик на половине пути пробил стеклянную пластинку и потерял половину своей скорости. Во сколько раз уменьшилась скорость падения шарика, и увеличилось время падения по сравнению со скоростью и временем падения при отсутствии пластинки? Временем взаимодействия с пластинкой пренебречь.

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 4.6.

4.7 При отсутствии стеклянной пластинки скорость шарика и время его полёта равны соответственно v_{\text {к без }}=\sqrt{2 g h} , t_{\text {без }}=\sqrt{\frac{2 h}{g}} (эти выражения получены из формул h=\frac{v_{\text {к без }}^{2}}{2 g} и h=\left(\frac{g t_{\text {к без }}^{2}}{2}\right) .

Когда на высоте h / 2 находится стеклянная пластинка, то на преодоление расстояния до неё у шарика уходит время, t_{1}=\sqrt{\frac{h}{g}} и к пластине он подлетает, имя скорость v_{1}=\sqrt{g h} .

По условию задачи после того, как шарик пробил стеклянную пластинку, он потерял половину своей скорости. Поэтому его скорость в начале последнего этапа будет равна v_{02}=\frac{\sqrt{g h}}{2} .

Вновь воспользуемся безвременной формулой для последнего участка пути \frac{h}{2}=\frac{v_к^{2}-v_{02}^{2}}{2 g} , откуда после подстановки v_{02} получим скорость шарика перед ударом о землю \underline{v}_{\text {к }}=\frac{\sqrt{5 g h}}{2} . Отсюда скорость падения шарика уменьшилась в \frac{v_{\text {к без }}}{v_{\text {к }}}=\frac{2 \sqrt{2 g h}}{\sqrt{5 g h}}=\sqrt{\frac{8}{5}} \approx 1,26 .

Время полёта шарика после преодоления пластинки найдём из уравнения зависимости скорости от времени v_{\text {к }}=v_{02}+g t_{2} . После подстановки соответствующих скоростей получим t_{2}=\frac{\sqrt{5 h}-\sqrt{h}}{2 \sqrt{g}} . Тогда время полёта шарика при наличии пластинки t_{\text {п }}=t_{1}+t_{2}=\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{g}}+\frac{\sqrt{5 h}-\sqrt{h}}{2 \sqrt{g}}=\frac{\sqrt{5 h}+\sqrt{h}}{2 \sqrt{g}} .

Отсюда время падения шарика увеличилось в \frac{t_{\text {п }}}{t_{\text {без }}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2 \sqrt{2}} \approx 1,14 .

Ответ \frac{t_{\text {п }}}{t_{\text {без }}} \approx 1,14 .

Задача 10

Условие

В лифте, движущемся с ускорением 1 м/с², направленным вниз, человек с высоты 90 см над полом выронил монету. Сколько времени длилось её падение?

Решение

При движении лифта с ускорением, направленным вниз, ускорение, с которым будет падать монета относительно лифта, равно a_{м}=g â a.

Тогда уравнение движения монеты можно записать в виде h=\frac{a_{м} t^{2}}{2}=\frac{(g-a) t^{2}}{2} .

Откуда время падения монеты t=\sqrt{\frac{2 h}{g-a}}=\sqrt{\frac{2 \cdot 0,9}{10-1}} \approx 0,45 с. Если ускорение лифта будет направлено вверх, то ускорение монеты относительно пола лифта будет равно a_{м}=g+a . В этом случае время падения монеты на пол лифта составит 0,4 с.

Ответ t = 0,4 с.

Задача 11

Условие

Парашютист сразу после прыжка с высокого обрыва пролетает вертикально вниз расстояние 50 м, на котором сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала. Далее, после раскрытия парашюта, он замедляется с ускорением 2 м / c^{2} и приземляется со скоростью 3 м / c . С какой высоты прыгал парашютист и сколько времени он находился в воздухе?

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 4.7.

4.8 На первом этапе парашютист движется с ускорением свободного падения и за время t_{1} проходит путь h=\frac{g t_{1}^{2}}{2} , а его скорость в конце данного участка становится равной v_{1}=\sqrt{2 g h} .

Далее раскрывается парашют и скорость парашютиста уменьшается с ускорением \vec{a} . В момент касания земли скорость парашютиста v_{\text {к }}=v_{1}-a t_{2}= \sqrt{2 g h}-a t_{2} , откуда t_{2}=\frac{\sqrt{2 g h}-v_{\text {к }}}{a} .

Тогда время всего полёта парашютиста t=t_{1}+t_{2}=\sqrt{\frac{2 h}{g}}+\frac{\sqrt{2 g h}-v_{м}}{a}=17,5 с.

После раскрытия парашюта парашютист пролетает расстояние

H-h=\frac{v_{1}^{2}-v_к^{2}}{2 a}. Откуда высота, с которой прыгал парашютист, равна H=h+\frac{2 g h-v_к^{2}}{2 a} \approx 300 м .

Ответ H\approx 300 м .