Аналитический способ решения задач о прямолинейном равноускоренном движении.

Задача 6

Условие

Самолёт, летящий со скоростью v_{0}=720 км/ч разгоняется в течение t=10 с и за последнюю секунду проходит путь l=295 м. Чему равен модуль ускорения самолёта и модуль его конечной скорости?

Решение

Направим ось x вдоль скорости движения самолёта, за начало отсчёта примем момент начала его разгона (рис. 1.4). Обозначим \tau=1 с.

1.4 Запишем уравнение зависимости скорости самолёта от времени: v=v_{0}+a t.

Напомню, что в одной из лекций было получено выражение для пути, пройденного телом (если оно не меняло направления движения), через конечную скорость и ускорение: l=v \tau-\frac{a \tau^{2}}{2} (здесь знак «минус» не связан с проекцией ускорения). Однако, в кодификаторе ЕГЭ такой формулы нет. Поэтому для использования её в решении данную формулу надо вывести!

Вывод этой формулы прост, если воспользоваться графиком зависимости v_{x}(t) . Площадь под графиком можно найти и, если из площади прямоугольника, ограниченного сторонами v_{x} и t , вычесть площадь окрашенного треугольника (рис. 1.5).

1.5 Дальше следует решить полученную систему уравнений относительно двух неизвестных: ускорения и скорости в конце разгона \left\{\begin{array}{l}v=v_{0}+a t, \\ l=v \tau-\frac{a \tau^{2}}{2},\end{array}\right. (например, методом подстановки). Получим 10 м/с ^2 и 300 м/ c .

Можно решить эту задачу и введя промежуточную величину - скорость \vec{v}_{1} в начале разгона. Попробуйте поступить именно таким способом и убедитесь, что решение становится более громоздким, так как при этом следует записать ещё два уравнения, содержащих \vec{v}_{1} .

Ответ a = 10 м/с ^2 ; v = 300 м/ c .

Задача 7

Условие

Тело начинает движение со скоростью 10 м / c и ускорением 2 м / c^2 , направленным против скорости. Определите пути, пройденные телом за время 4 с и 8 с.

Решение

Направим ось x вдоль скорости движения тела, за начало отсчёта примем его начальное положение (рис. 1.6).

1.6 Так как скорость тела уменьшается с течением времени, выясним сначала, изменяло ли тело направление своего движения в течение этих 8 с. Запишем уравнение зависимости v(t)=v_{0} + at и приравняем его нулю. Получим время разворота t_{р}=\frac{v_{0}}{a}=\frac{10}{2}=5 c , что больше 4 с и меньше 8 с. Учтём это при расчёте пути.

В течение 4 с тело не меняло направление движения, поэтому для расчёта пути можно воспользоваться готовым уравнением движения l_{4}= v_{0} t_{4}-\frac{a t_{4}^{2}}{2}=10 \cdot 4-\frac{2 \cdot 4^{2}}{2}=24 м .

Теперь определим путь, который тело прошло до разворота:

l_{\text{р}}=v_{0} t_{\text{р}}-\frac{a t_{\text{р}}^{2}}{2}=10 \cdot 5-\frac{2 \cdot 5^{2}}{2}=25 \hspace{3pt}\text{м}. .

Путь, пройденный телом после разворота при равноускоренном движении из состояния покоя за оставшееся после разворота время:

l_{2}=\frac{a\left(t_{8}-t_{\text{р}}\right)^{2}}{2}=\frac{2 \cdot(8-5)^{2}}{2}=9 \hspace{3pt}\text{м}. Тогда путь, пройденный за 8 с, составил

l_{8}=l_{\text{р}}+l_{2}=25+9=34 \hspace{3pt}\text{м}. Ответ l_4 = 24 м ; l_8 =34 м .

Задача 8

Условие

После удара клюшкой шайба скользит по льду с постоянным ускорением. В конце пятой секунды после начала движения её скорость была равна v_{5}=1,5 м / c , а в конце шестой секунды шайба остановилась. С каким ускорением двигалась шайба, какой путь прошла от места удара до остановки и какова была её скорость на расстоянии l =20 м от начала движения?

Решение

Направим ось x вдоль наклонной плоскости вверх, за начало отсчёта примем начальное положение шайбы. Скорость в конце пятой секунды выражается формулой v_{5}=v_{0}-a t_{5} , а в конце шестой секунды её скорость равна нулю v_{6}=v_{0}-a t_{6}=0 . Выразив начальную скорость из обоих уравнений и приравняв правые части, получим a=\frac{v_{5}}{t_{6}-t_{5}}=\frac{1,5}{6-5}=1,5 м / c^2 .

Путь в конце шестой секунды l_{6}=\frac{v_{0}^{2}}{2 a}=\frac{\left(a t_{6}\right)^{2}}{2 a}=\frac{a t_{6}^{2}}{2}=\frac{1,5 \cdot 6^{2}}{2}=27 м. Скорость на расстоянии l=20 м от начала движения найдём из формулы l=\frac{v_{0}^{2}-v_{20}^{2}}{2 a} . \quad Отсюда v_{20}=\sqrt{v_{0}^{2}-2 a l}=\sqrt{\left(a t_{6}\right)^{2}-2 a l}=\sqrt{(1,5 \cdot 6)^{2}-2 \cdot 1,5 \cdot 20}=4,6 м / c .

Ответ a=1,5 м / c^2 ; l_{6}=\frac{1,5 \cdot 6^{2}}{2}=27 м; v_{20}=4,6 м / c .