Аналитический способ решения задач о прямолинейном равноускоренном движении.

Задача 4

Условие

В течение первой секунды наблюдения мотоциклист, двигавшийся прямолинейно равноускоренно, проехал 10 м, а в течение первых двух секунд - 22 м. Чему была равна его начальная скорость? Какое расстояние он проехал за первые три секунды наблюдения?

Решение

Как видно из условия, пути, пройденные мотоциклистом за первую и вторую секунды не относятся, как 1 : 3. Значит, мотоциклист двигался равноускоренно с некоторой начальной скоростью. Запишем уравнения движения мотоциклиста, обозначив промежутки времени \tau и 2 \tau соответственно: \begin{gathered}

l_{1}=v_{0} \tau+\frac{a \tau^{2}}{2}, \\

l_{2}=2 v_{0} \tau+4 \frac{a \tau^{2}}{2}=2 v_{0} \tau+2 a \tau^{2}.

\end{gathered}

Умножим первое уравнение на 4 и вычтем из него второе уравнение, получим: 4 l_{1}-l_{2}=2 v_{0} \tau . Откуда найдём начальную скорость мотоциклиста v_{0}=\frac{4 l_{1}-l_{2}}{2 \tau}=\frac{4 \cdot 10-22}{2 \cdot 1}=9 м / c .

Умножим первое уравнение на 2 и вычтем его из второго уравнения, получим: l_{2}-2 l_{1}=a \tau^{2} . Откуда найдём ускорение мотоциклиста a=\frac{l_{2}-2 l_{1}}{\tau^{2}}= \frac{22-2 \cdot 10}{1^{2}}=2 м / c^{2}

Тогда расстояние, пройденное мотоциклистом за 3 с равно

l_{3}=v_{0} t+\frac{a t^{2}}{2}=9 \cdot 3+\frac{2 \cdot 3^{2}}{2}=36 \hspace{3pt}\text{м}. Ответ v_{0}=9 м / c ; l_{3}=36 м .

Задача 5

Условие

Шарик толкнули снизу вверх по наклонному жёлобу. У флажка, установленного на расстоянии 30 см от нижнего края жёлоба, шарик побывал через 1 с и через 3 с после толчка. Чему равен весь пройденный шариком путь до возвращения в начальную точку? Шарик движется вверх и вниз с одинаковым по модулю ускорением.

Решение

Направим ось x вдоль наклонной плоскости вверх, за начало отсчёта примем начальное положение шарика (рис. 1.3). Обозначим координату флажка x_{1} , а времена, о которых идет речь в задаче, \tau и 3 \tau соответственно.

1.3 Запишем уравнения x(t) мотоциклиста: \begin{gathered}

x_{1}=v_{0} \tau-\frac{a \tau^{2}}{2}, \\

x_{2}=x_{1}=3 v_{0} \tau-9 \frac{a \tau^{2}}{2}.

\end{gathered}

Умножим первое уравнение на 9 и вычтем из него второе уравнение, получим: 8 x_{1}=6 v_{0} \tau . Откуда найдём начальную скорость мотоциклиста v_{0}= \frac{8 x_{1}}{6 \tau}=\frac{8 \cdot 0,3}{6 \cdot 1}=0,4 м / c .

Из уравнения x_{1}(\tau) найдём ускорение мотоциклиста a=\frac{2\left(v_{0} \tau-x_{1}\right)}{\tau^{2}}= \frac{2(0,4 \cdot 1-0,3)}{1^{2}}=0,2 м / c^2 .

Время движения шарика до верхней точки траектории найдём из условия v_{x}=v_{0}-a t_{р}=0 . Отсюда t_{р}=\frac{v_{0}}{a}=\frac{0,4}{0,2}=2 с. Обратите внимание, что использовать равенство времён движения вверх и вниз до изменения направления движения при решении задач нельзя.

Путь, пройденный шариком до возвращения в исходную точку, равен удвоенной координате шарика через промежуток времени, равный t_{р}: x_{р}= 2 x\left(t_{р}\right) .

l=2\left(v_{0} t_{\text{р}}-\frac{a t_{\text{р}}^{2}}{2}\right)=2 v_{0} t_{\text{р}}-a t_{\text{р}}^{2}=2 \cdot 0,4 \cdot 2-0,2 \cdot 2^{2}=0,8 \hspace{3pt}\text{м}. Ответ l=0,8 м .