Баллистика. Координатный метод

Задача 7

Условие

Пластилиновый шарик в момент t=0 бросают с горизонтальной поверхности земли с некоторой начальной скоростью под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Спустя время \tau=1 с шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. Какова начальная скорость v_{0} шарика, брошенного под углом к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Шарики движутся поступательно, поэтому их можно принять за материальные точки. По условию задачи силой сопротивления воздуха можно пренебречь. Поэтому тела движутся в поле Земного тяготения. Следовательно, для описания движения тел до столкновения можно использовать законы равноускоренного движения.

Введем координатные оси: горизонтальную ось х и направленную вверх ось y. Начало координат разместим в точке старта первого шарика. До столкновения вертикальные координата и проекции скоростей шариков меняются по законам: y_{1}=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} ; v_{1 y}=v_{0} \sin \alpha-g t ; v_{2 y}=-g t

Перед столкновением на шарики действуют только силы тяжести, которые являются внешними. Поскольку при столкновении на шарики действуют внутренние силы взаимодействия, которые довольно велики из-за кратковременности удара, то по сравнению с ними силой тяжести можно пренебречь, а значит можно пренебречь внешними силами, действующими на тела в процессе соударения. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения импульса: m \vec{v}_{1}+m \vec{v}_{2}=2 m \vec{v} .

Скорость слипшихся шариков горизонтальна, поэтому в проекции на вертикальную ось получаем: v_{1 y}=-v_{2 y} . Тогда v_{0} \sin \alpha-g \tau=g \tau , откуда v_{0}= \frac{2 g \tau}{\sin \alpha}=40 м/с.

Ответ v_{0}=40 м/с.

Задача 8

Условие

Небольшое тело бросили под углом \alpha=30^{\circ} к горизонтальной плоскости с начальной скоростью v_{0}=40 м/с. В верхней точке траектории в него попало другое тело такой же массы, брошенное с той же плоскости вертикально вверх с начальной скоростью u_{0}=25 м/с, и оба тела в результате абсолютно неупругого удара слиплись и полетели дальше вместе (см. рис. 5). На каком расстоянии l от места броска второго тела слипшиеся тела упадут на горизонтальную плоскость? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

8.5 Решение

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Поскольку размеры тел малы по сравнению с пройденным путём, то их в данных условиях можно принять за материальные точки. Движение тел происходит в поле Земного тяготения без влияния силы сопротивления воздуха.

Для него модно записать y_{1}=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} ; v_{1 y}=v_{0} \sin \alpha-g t . Приравнивая нулю проекцию скорости этого тела на ось у в верхней точке траектории, найдём время подъёма тела на высоту h , а далее подставляя это время в уравнение координаты y , получим h=\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 g}=20 м. Скорость первого тела перед столкновением равна проекции его скорости на ось x: v_{x}= v_{0} \cos \alpha=20 \sqrt{3} м/с. Скорость этого тела перед ударом направлена горизонтально.

Так как сила тяжести является консервативной силой, то для второго тела можно записать закон сохранения энергии: \frac{m u_{0}^{2}}{2}=m g h+\frac{m u^{2}}{2} . Отсюда модуль скорости второго тела перед ударом равен u=\sqrt{u_{0}^{2}-2 g h}=15 м/с. Направлена скорость вертикально вверх.

При неупругом столкновении тел на них действуют внутренние силы взаимодействия. Эти силы являются достаточно большими, так как взаимодействие тел происходит за короткий промежуток времени, а импульс каждого из них изменяется на конечную величину, поэтому силой тяжести по сравнению с ними можно пренебречь. Значит, в инерциальной системе отсчета применим закон сохранения импульса: m \vec{v}+m \vec{u}=2 m \vec{v}_{\text {об. }} . В проекциях на координатные оси после сокращения масс получим: v_{\text {об. } x}=\frac{v}{2}= 10 \sqrt{3} м/с, v_{\text {об. } .}=\frac{u}{2}=7,7 м/с.

8.6 Дальнейшее движение слипшихся тел происходит только под действием силы тяжести, поэтому слипшееся тело движется с ускорением свободного падения: y=h+v_{\text {об. } y} t-\frac{g t^{2}}{2}, x=v_{\text {об. } x} t .

Приравняв нулю первое выражение, найдём время полёта \tau=\frac{v_{\text {об. } y}+\sqrt{v_{\text {об } \cdot y}^2+2 g h}}{g} \approx 2,9 c.

Подставив время полёта во второе уравнение, найдём дальность полёта: l=v_{\text {об. } x} \tau \approx 50 м.

Ответ l \approx 50 м.