Баллистика. Координатный метод

Задача 4

Условие

Два тела бросили одновременно с одинаковыми скоростями 20 м/с, направленными под углом 30^{\circ} к горизонту: одно вниз с высоты 30 м, другое вверх с поверхности земли из точки, находящейся точно под верхним телом. Через какое время и на какой высоте тела столкнутся? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Уравнения движения тел имеют вид: x_{1}=x_{2}=v_{0} \cos \alpha t ; y_{1}=h-v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} ; y_{2}=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} .

В момент встречи координаты тел должны быть равными: h-v_{0} \sin \alpha \tau-\frac{g \tau^{2}}{2}=v_{0} \sin \alpha \tau-\frac{g \tau^{2}}{2} , где \tau- время встречи.

Решая последнее уравнение, получим \tau=\frac{h}{2 v_{0} \sin \alpha} . После подстановки численных данных получаем \tau = 1,5 c.

Высота, на которой тела встретятся равна H=y(\tau)=\frac{h}{2}-\frac{g h^{2}}{8 v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha} \approx 3,75 м.

Ответ \tau = 1,5 c; H \approx 3,75 м.

Задача 5

Условие

При выполнении трюка «Летающий велосипедист» гонщик движется по гладкому трамплину под действием силы тяжести, начиная движение из состояния покоя с высоты H (см. рис. 3). На краю трамплина скорость гонщика направлена под углом \alpha=60^{\circ} к горизонту. Пролетев по воздуху, он приземляется на горизонтальный стол, находящийся на той же высоте, что и край трамплина. Какова дальность полета гонщика ?

8.3 Решение

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Поскольку размеры гонщика малы по сравнению с пройденным путём, будем описывать его моделью материальной точки.

При движении до точки отрыва на гонщика действуют консервативная сила тяжести и неконсервативная сила реакции опоры. Работа силы нормальной реакции опоры при движении гонщика по трамплину равна нулю, так как в любой момент времени эта сила перпендикулярна скорости гонщика. Следовательно, механическая энергия сохраняется. Можно записать закон сохранения энергии при движении гонщика до точки отрыва: m g H=\frac{m v^{2}}{2} . Откуда скорость гонщика в момент отрыва от трамплина равна v=\sqrt{2 g H} .

После отрыва от трамплина движение гонщика происходит в поле Земного тяготения. Уравнения зависимости координат от времени имеют вид y=v \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} и x=v \cos \alpha t . В момент приземления координата y равна нулю, отсюда находим время полёта лыжника: \tau=\frac{2 v \sin \alpha}{g} . Подставляя его в уравнение x=v \cos \alpha t , получим дальность полёта лыжника L=\frac{v^{2} \sin 2 \alpha}{g} .

Подставляя скорость лыжника в момент отрыва в уравнение дальности полёта, получим L=\frac{2 g H \sin 2 \alpha}{g}=H \sqrt{3} .

Ответ L=H \sqrt{3} .

Задача 6

Условие

Пружинное ружье наклонено под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту. Энергия сжатой пружины равна 0,41 Дж. При выстреле шарик массой m=50 г проходит по стволу ружья расстояние b , вылетает и падает на расстоянии L=1 м от дула ружья в точку M , находящуюся на одной высоте с дулом. (см. рис. 4). Найдите расстояние b . Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.

8.4 Решение

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. При движении пули по дулу пистолета на неё действуют консервативные сила тяжести и сила упругости, и неконсервативная сила реакции опоры. Не действуют сила трения (так как дуло можно считать абсолютно гладким) и сила сопротивления воздуха. Работа силы нормальной реакции опоры при движении шарика по стволу равна нулю, так как в любой момент времени эта сила перпендикулярна скорости шарика. Следовательно, механическая энергия сохраняется.

Можно записать закон сохранения энергии при движении шарика до вылета из ружья: E_{\text {пр. }}=m g h+\frac{m v^{2}}{2} , где h=b \sin \alpha . Откуда получим b= \frac{2 E_{\text {пp. }}-m v^{2}}{2 m g \sin \alpha} .

Полёт шарика до места падения происходит под действием силы тяжести с ускорением свободного падения. Время падения найдём из равенства нулю координаты у в момент падения: \tau=\frac{2 v \sin \alpha}{g} . Подставляя его в уравнение x=v \cos \alpha t , получим дальность полёта шарика L=\frac{v^{2} \sin 2 \alpha}{g} . Откуда v^{2}=\frac{g L}{\sin 2 \alpha} .

Объединяя записанные формулы, выразим искомую величину b=\frac{2 E_{\text {пр. }}-\frac{m g L}{\sin 2 \alpha}}{2 m g \sin \alpha}.

После подстановки численных данных получим b \approx 0,5 м.

Ответ b \approx 0,5 м.