Встреча

Задача 8

Условие

Шарик бросили вертикально вверх со скоростью vo. Когда он достиг высшей точки траектории, из того же места со скоростью 2 v_{0} бросили второй шарик. На какой высоте h шарики встретятся?

Решение

Уравнение движения первого шарика y_{1}=v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} , а второго тела y_{2}=2 v_{0}(t-\tau)-\frac{g(t-\tau)^{2}}{2} , где \tau- время подъёма первого тела на максимальную высоту. Это время можно найти из равенства нулю проекции скорости первого тела в верхней точке траектории: v_{1}=v_{0}-g \tau=0 \Longrightarrow \tau= \frac{v_{0}}{g} . Тогда можно переписать уравнение движения второго тела в виде y_{2}= 2 v_{0}\left(t-\frac{v_{0}}{g}\right)-\frac{g\left(t-\frac{v_{0}}{g}\right)^{2}}{2} .

В момент встречи координаты тел равны, тогда после приравнивания правых частей уравнений и математических преобразований получаем t_{в}= \frac{5 v_{0}}{4 g} .

Высоту, на которой тела встретятся, найдём, подставив время встречи в уравнение движения первого тела. После математических преобразований получим h=\frac{15 v_{0}^{2}}{32 g} .

Ответ h=\frac{15 v_{0}^{2}}{32 g} .

Задача 9

Условие

Летающая тарелка стартует с постоянным ускорением a , забыв одного из инопланетян. В течение какого времени после взлёта оставшемуся инопланетянину имеет смысл звать тарелку назад, если скорость звука в воздухе равна c ?

Решение

Запишем уравнения движения тарелки y_{т}=\frac{a t^{2}}{2} и звука, считая его движение равномерным, y_{\text {зв}}=c(t-\tau) , где \tau - время задержки.

Звук достигает тарелки, если выполняется условие y_{\text {т }}=y_{\text {зв}} . Тогда получаем квадратное уравнение \frac{a t_{в}^{2}}{2}-c t_{в}+c \tau=0 , корнями которого являются t_{в}=\frac{c \pm \sqrt{c^{2}-2 a c \tau}}{a} .

Если при решении получаем два корня, звук достигнет тарелки дважды. Если корень один, а это выполняется, когда дискриминант равен нулю, то это предельный случай. При отсутствии корней звук тарелки не достигает.

Таким образом, рассматриваем случай c^{2}-2 a c \tau=0 , откуда промежуток времени после взлёта, когда оставшемуся инопланетянину имеет смысл звать тарелку назад равен \tau=\frac{c}{2 a} .

Ответ \tau=\frac{c}{2 a} .