Встреча

Задача 8 Условие Шарик бросили вертикально вверх со скоростью vo. Когда он достиг высшей точки траектории, из того же места со скоростью $2 v_{0}$ бросили второй шарик. На какой высоте $h$ шарики встретятся? Решение Уравнение движения первого шарика $y_{1}=v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2}$, а второго тела $y_{2}=2 v_{0}(t-\tau)-\frac{g(t-\tau)^{2}}{2}$, где $\tau-$ время подъёма первого тела на максимальную высоту. Это время можно найти из равенства нулю проекции скорости первого тела в верхней точке траектории: $v_{1}=v_{0}-g \tau=0 \Longrightarrow \tau=$ $\frac{v_{0}}{g}$. Тогда можно переписать уравнение движения второго тела в виде $y_{2}=$ $2 v_{0}\left(t-\frac{v_{0}}{g}\right)-\frac{g\left(t-\frac{v_{0}}{g}\right)^{2}}{2}$. В момент встречи координаты тел равны, тогда после приравнивания правых частей уравнений и математических преобразований получаем $t_{в}=$ $\frac{5 v_{0}}{4 g}$. Высоту, на которой тела встретятся, найдём, подставив время встречи в уравнение движения первого тела. После математических преобразований получим $h=\frac{15 v_{0}^{2}}{32 g}$. Ответ $h=\frac{15 v_{0}^{2}}{32 g}$. Задача 9 Условие Летающая тарелка стартует с постоянным ускорением $a$, забыв одного из инопланетян. В течение какого времени после взлёта оставшемуся инопланетянину имеет смысл звать тарелку назад, если скорость звука в воздухе равна $c$ ? Решение Запишем уравнения движения тарелки $y_{т}=\frac{a t^{2}}{2}$ и звука, считая его движение равномерным, $y_{\text {зв}}=c(t-\tau)$, где $\tau$ - время задержки. Звук достигает тарелки, если выполняется условие $y_{\text {т }}=y_{\text {зв}}$. Тогда получаем квадратное уравнение $\frac{a t_{в}^{2}}{2}-c t_{в}+c \tau=0$, корнями которого являются $t_{в}=\frac{c \pm \sqrt{c^{2}-2 a c \tau}}{a}$. Если при решении получаем два корня, звук достигнет тарелки дважды. Если корень один, а это выполняется, когда дискриминант равен нулю, то это предельный случай. При отсутствии корней звук тарелки не достигает. Таким образом, рассматриваем случай $c^{2}-2 a c \tau=0$, откуда промежуток времени после взлёта, когда оставшемуся инопланетянину имеет смысл звать тарелку назад равен $\tau=\frac{c}{2 a}$. Ответ $\tau=\frac{c}{2 a}$.