Встреча

Задача 5 Условие Два шарика подбрасывают из одной точки вертикально вверх с промежутком времени $\tau=2$ с. Начальные скорости первого и второго шариков равны $v_{1}=30 м / c$ и $v_{2}=50 м / c$ соответственно. Через какое время $t$ после начала движения первого шарика они столкнутся? На какой высоте это произойдёт? Решение Уравнения движения шариков имеют вид: $$ y_{1}=v_{1} t-\frac{g t^{2}}{2} n y_{1}=v_{2}(t-\tau)-\frac{g(t-\tau)^{2}}{2}. $$ В момент встречи координаты шариков равны, тогда после приравнивания правых частей уравнений и математических преобразований получаем $t_{в}=\frac{v_{2} \tau+\frac{g \tau^{2}}{2}}{v_{2}-v_{1}+g \tau}=3$ с. Подставляя время встречи в уравнение движения первого шарика, получим высоту, на которой шарики встретятся $y_{\text {в }}=45 м$. Ответ $y_{\text {в }}=45 м$. Задача 6 Условие На учебных стрельбах поставлена задача: в минимальное время поразить снаряд, выпущенный вертикально вверх со скоростью $v_{1}=$ 1000 м/с, вторым снарядом, скорость которого на $10 \ \newpage \noindent\underline{\textbf{Решение}} Первый снаряд будет поражен в минимальное время, если встреча снарядов произойдет на максимальной высоте, на которую сможет подняться второй снаряд. Максимальные высоты, на которые поднялись соответственно первый и второй снаряды, $h_{1}=\frac{v_{01}^{2}}{2 g} n h_{2}=\frac{v_{02}^{2}}{2 g}$. В верхней точке траектории скорость второго снаряда равна нулю, значит время полёта второго снаряда до встречи $t_{2}=\frac{v_{02}}{g}$. До встречи первый снаряд сначала поднимается на высоту $h_{1}$ за время $t_{11}=\frac{v_{01}}{g}$, а затем свободно падает до встречи, пройдя расстояние $h_{1}$ â $h_{2}$ за время $t_{12}=\sqrt{\frac{2\left(h_{1}-h_{2}\right)}{g}}$. Отсюда время полета первого снаряда до встречи будет $t_{1}=\frac{v_{01}}{g}+\sqrt{\frac{2\left(h_{1}-h_{2}\right)}{g}}$. Значит, время между выстрелами __DISPLAY_MATH_1__ \noindent\underline{\textbf{Ответ}} $\Delta t \approx 54 с$. \noindent\underline{\textbf{Задача 7}} \noindent\underline{\textbf{Условие}} Тело бросили вертикально вверх со скоростью $v_{0}$. Когда оно достигло высшей точки траектории, из того же места с той же скоростью бросили второе тело. На какой высоте $h$ тела встретятся? \noindent\underline{\textbf{Решение}} Уравнение движения первого тела $y_{1}=v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2}$, а второго тела $y_{2}=v_{0}(t-\tau)-\frac{g(t-\tau)^{2}}{2}$, где $\tau-$ время подъёма первого тела на максимальную высоту. Это время можно найти из равенства нулю проекции скорости первого тела в верхней точке траектории: $v_{1}=v_{0}-g \tau=0 \Rightarrow \tau=$ $\frac{v_{0}}{g}$. Тогда можно переписать уравнение движения второго тела в виде $y_{2}=$ $v_{0}\left(t-\frac{v_{0}}{g}\right)-\frac{g\left(t-\frac{v_{0}}{g}\right)^{2}}{2}$. В момент встречи координаты тел равны, тогда после приравнивания правых частей уравнений и математических преобразований получаем $t_{в}=$ $\frac{v_{0}}{g}$. Высоту, на которой тела встретятся, найдём, подставив время встречи в уравнение движения первого тела. После математических преобразований получим $h=\frac{3 v_{0}^{2}}{8 g}$. Ответ $h=\frac{3 v_{0}^{2}}{8 g}$.