Встреча

Задача 5

Условие

Два шарика подбрасывают из одной точки вертикально вверх с промежутком времени \tau=2 с. Начальные скорости первого и второго шариков равны v_{1}=30 м / c и v_{2}=50 м / c соответственно. Через какое время t после начала движения первого шарика они столкнутся? На какой высоте это произойдёт?

Решение

Уравнения движения шариков имеют вид: y_{1}=v_{1} t-\frac{g t^{2}}{2} n y_{1}=v_{2}(t-\tau)-\frac{g(t-\tau)^{2}}{2}. В момент встречи координаты шариков равны, тогда после приравнивания правых частей уравнений и математических преобразований получаем t_{в}=\frac{v_{2} \tau+\frac{g \tau^{2}}{2}}{v_{2}-v_{1}+g \tau}=3 с. Подставляя время встречи в уравнение движения первого шарика, получим высоту, на которой шарики встретятся y_{\text {в }}=45 м .

Ответ y_{\text {в }}=45 м .

Задача 6

Условие

На учебных стрельбах поставлена задача: в минимальное время поразить снаряд, выпущенный вертикально вверх со скоростью v_{1}= 1000 м/с, вторым снарядом, скорость которого на 10% меньше. Через сколько секунд, после первого выстрела, следует произвести второй выстрел, если стрелять с того же места?

Решение

Первый снаряд будет поражен в минимальное время, если встреча снарядов произойдет на максимальной высоте, на которую сможет подняться второй снаряд.

Максимальные высоты, на которые поднялись соответственно первый и второй снаряды, h_{1}=\frac{v_{01}^{2}}{2 g} n h_{2}=\frac{v_{02}^{2}}{2 g} .

В верхней точке траектории скорость второго снаряда равна нулю, значит время полёта второго снаряда до встречи t_{2}=\frac{v_{02}}{g} .

До встречи первый снаряд сначала поднимается на высоту h_{1} за время t_{11}=\frac{v_{01}}{g} , а затем свободно падает до встречи, пройдя расстояние h_{1} â h_{2} за время t_{12}=\sqrt{\frac{2\left(h_{1}-h_{2}\right)}{g}} . Отсюда время полета первого снаряда до встречи будет t_{1}=\frac{v_{01}}{g}+\sqrt{\frac{2\left(h_{1}-h_{2}\right)}{g}} .

Значит, время между выстрелами

\begin{gathered}

\Delta t=t_{1}-t_{2}=\frac{v_{01}}{g}+\sqrt{\frac{2\left(h_{1}-h_{2}\right)}{g}}-\frac{v_{02}}{g}=\frac{v_{01}-v_{02}+\sqrt{v_{01}^{2}-v_{02}^{2}}}{g}= \\=

\frac{v_{01}-0,9 v_{01}+\sqrt{v_{01}^{2}-\left(0,9 v_{01}\right)^{2}}}{g} \approx 54 \text{ с} .

\end{gathered} Ответ \Delta t \approx 54 с .

Задача 7

Условие

Тело бросили вертикально вверх со скоростью v_{0} . Когда оно достигло высшей точки траектории, из того же места с той же скоростью бросили второе тело. На какой высоте h тела встретятся?

Решение

Уравнение движения первого тела y_{1}=v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} , а второго тела y_{2}=v_{0}(t-\tau)-\frac{g(t-\tau)^{2}}{2} , где \tau- время подъёма первого тела на максимальную высоту. Это время можно найти из равенства нулю проекции скорости первого тела в верхней точке траектории: v_{1}=v_{0}-g \tau=0 \Rightarrow \tau= \frac{v_{0}}{g} . Тогда можно переписать уравнение движения второго тела в виде y_{2}= v_{0}\left(t-\frac{v_{0}}{g}\right)-\frac{g\left(t-\frac{v_{0}}{g}\right)^{2}}{2} .

В момент встречи координаты тел равны, тогда после приравнивания правых частей уравнений и математических преобразований получаем t_{в}= \frac{v_{0}}{g} .

Высоту, на которой тела встретятся, найдём, подставив время встречи в уравнение движения первого тела. После математических преобразований получим h=\frac{3 v_{0}^{2}}{8 g} .

Ответ h=\frac{3 v_{0}^{2}}{8 g} .