Движение тела, брошенного горизонтально.

Радиус кривизны траектории

Рассмотрим некоторый момент времени после начала полёта тела, брошенного горизонтально. Изобразим участок траектории тела в системе координат, изображённой на рисунке 4.6.

Модуль нормального ускорения равен a_{n}=\frac{v^{2}}{R} , где v- скорость тела в некоторый момент времени \tau, R - радиус кривизны траектории.

Тело, брошенное горизонтально, при отсутствии сопротивления воздуха движется с ускорением свободного падения \vec{g} . Тогда проекция вектора ускорения на нормаль к траектории равна a_{n}=g \cos \alpha .

Модуль скорости тела в момент времени \tau равен v=\frac{v_{x}}{\cos \alpha}=\frac{v_{0}}{\cos \alpha} .

Радиус кривизны траектории R=\frac{v^{2}}{a_{n}}=\frac{v_{0}^{2}}{g \cos ^{3} \alpha} . Для определения угла \alpha в момент времени \tau можно воспользоваться, например, формулой \text{tg} \alpha=\frac{v_{y}}{v_{x}} .

Пример 1. Тело брошено горизонтально. Через \tau=5 с после броска угол между направлением скорости и ускорения стал равен \alpha=45^{\circ} . Определить скорость тела в этот момент времени.

Решение

Покажем на рисунке 4.7 скорость тела через промежуток времени \tau .

Из рис. 4.7 видно, что \text{tg} \alpha=\frac{v_{x}}{v_{y}} , где v_{y}=g \tau . Скорость тела в этот момент времени v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{v_{y}^{2} \text{tg}^{2} \alpha+v_{y}^{2}}= v_{y} \sqrt{1+\text{tg}^{2} \alpha}=g \tau \sqrt{1+\text{tg}^{2} \alpha}=\frac{g \tau}{\cos \alpha}=\frac{10 \cdot 5}{\cos 45} \approx 71 \text{ м} / \text{с} .