Движение тела, брошенного горизонтально.

Пример 4. С самолёта, летящего горизонтально со скоростью 720 км/ч на высоте H=2 км, сброшен груз. На какой высоте скорость груза направлена под углом 30^{\circ} к горизонту? Чему равен радиус кривизны траектории движения груза в этой точке?

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 4.10, совместив начало отсчёта с местом отделения груза от самолёта. Скорость груза относительно земли в момент отделения его от самолёта равна скорости самолёта относительно земли.

Тогда уравнения зависимостей координат и проекций скорости имеют вид: v_{x}=v_{0} ;v_{y}=-g t ; x=v_{0} t ; y=H-\frac{g t^{2}}{2} .

Пусть до высоты h груз летит время \tau , тогда \text{tg} \alpha=\frac{\left|v_{y}\right|}{v_{x}}=\frac{g \tau}{v_{0}} , откуда время \tau=\frac{v_{0} \text{tg} \alpha}{g} . Высота, на которой окажется груз через этот промежуток времени, h=H-\frac{g \tau^{2}}{2}=H-\frac{\left(v_{0} \text{tg} \alpha\right)^{2}}{2 g} \approx 1,3 км.

Проекция вектора ускорения на нормаль к траектории равна a_{n}= g \cos \alpha . Модуль скорости тела в момент времени \tau равен v=\frac{v_{x}}{\cos \alpha}=\frac{v_{0}}{\cos \alpha} . Радиус кривизны траектории R=\frac{v^{2}}{a_{n}}=\frac{v_{0}^{2}}{g \cos ^{3} \alpha} \approx 6,2 км.