Куб. Расстояние: от точки до плоскости, от точки до прямой, между прямыми и смешанные задачи.: Часть 5

Видео

Конспект

Пример 2.32

ЕГЭ-2019, основная волна, резервный день, №14.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 рёбра равны 1 . На продолжении отрезка A_1C_1 за точку C_1 отмечена точка M так, что A_1C_1 = C_1M , а на продолжении отрезка B_1C за точку C отмечена точка N так, что B_1C = CN .

Докажите, что MN = MB_1 .

Найдите расстояние между прямыми B_1C_1 и MN .

Решение.

а) Продлим A_1B_1 за точку B_1 так, что A_1B_1 = B_1K (рис. 14). В \triangle A_KM B_1C_1 — средняя линия, следовательно, B_1C_1 \parallel KM , KM = 2 B_1C_1 = 2 , \angle AKM = 90^\circ . Продлим B_1C_1 за точку C_1 так,что C_1P = B_1C_1 . Тогда CC_1 — средняя линия \triangle B_1PN , следовательно, CC_1 \parallel PN , PN = 2 CC_1 = 2 , \angle B_1PN = 90^\circ . Поскольку C_1C \perp (A_1B_1C_1) , то и PN \perp (A_1B_1C_1) . \triangle B_1MP = \triangle NMP по двум катетам, следовательно, B_1M = NM .

Stereo_2_25_s

Рис. 14: К примеру 2.32

б) В \triangle PMN проведем высоту PH , которая и будет искомым расстоянием между прямыми B_1C_1 и MN . Действительно, PH \perp MN по построению. Так как B_1P \parallel B_1C_1 , а B_1P \perp PN и B_1P \perp PM , то B_1P \perp (PMN) . Следовательно, B_1C_1 \perp (PMN) , а значит B_1C_1 \perp PH . Таким образом, PH — общий перпендикуляр к прямым B_1C_1 и MN .

Найдем длину PH . Рассмотрим прямоугольный \triangle PMN ( \angle P = 90^\circ ), PN = 2 , PM = 1 : MN = \sqrt{PM^2 + PN^2} = \sqrt{1^2 + 4} = \sqrt{5}. Площадь \triangle PMN с одной стороны: S_{PMN} = \frac{1}{2} PN \cdot PM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1. С другой стороны: S_{PMN} = \frac{1}{2} PH \cdot MN = \frac{1}{2} PH \cdot \sqrt{5}. Приравнивая площади, получаем: \frac{1}{2} PH \cdot \sqrt{5} = 1 \implies PH = \frac{2}{\sqrt{5}}.

Ответ: б) \frac{2}{\sqrt{5}} .

Смешанные задачи

Задача 2.33

Через каждую вершину единичного куба проведены плоскости, перпендикулярные одной и той же диагонали куба. На какие части делится диагональ этими плоскостями?

Ответ: на три равные части длины \displaystyle \frac{\sqrt 3}{3} каждая.

Задача 2.34

ЕГЭ-2010, демонстрационный вариант, С2.

К диагонали куба провели перпендикуляры из остальных вершин куба. На сколько частей и в каком отношении основания этих перпендикуляров разделили диагональ?

Ответ: на три равные части.