Метод. координат. Решение задач.: Часть 1

Видео

Конспект

Метод. координат. Решение задач.

Пример 7.4

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E:EA=3:2 , на ребре BB_1 — точка F так, что B_1F:FB=2:3 , а на ребре B_1C_1 — точка T так, что B_1T:TC_1=2:1 . Известно, что AB=4, AD=3, AA_1=5 .

Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D_1 .

Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB_1C_1 .

Stereo_2_139_s Рис. 1: К примеру 7.4

Решение.

а) Введем систему координат с центром в точке B . Ось x направим вдоль BA , ось y — вдоль BC , ось z — вдоль BB_1 (рис. 1). Найдем координаты точек:

A_1E:EA=3:2 \implies EA=2 , E(4, 0, 2) .

B_1F:FB=2:3 \implies FB=3 , F(0, 0, 3) .

B_1(0,0,5) , C_1(0,3,5) .

B_1T:TC_1=2:1 \implies B_1T = 2 , T(0, 2, 5) .

D_1(4, 3, 5) .

Найдем вектор нормали \vec{n}=\{A, B, C\} к плоскости сечения EFT . Для этого найдем два вектора, лежащие в плоскости:

\vec{FE} = \{4, 0, -1\} .

\vec{FT} = \{0, 2, 2\} \sim \{0, 1, 1\} .

Условия перпендикулярности: \begin{aligned}

\vec{n} \cdot \vec{FE} &= 4A - C = 0 \implies C=4A \\

\vec{n} \cdot \vec{FT} &= B+C=0 \implies B=-C

\end{aligned} Пусть A=1 . Тогда C=4 , B=-4 . Получаем вектор нормали \vec{n}=\{1, -4, 4\} . Запишем уравнение плоскости EFT , используя точку F(0,0,3) в качестве опорной: 1(x-0) - 4(y-0) + 4(z-3) = 0 \Longleftrightarrow x - 4y + 4z - 12 = 0. Подставим в полученное уравнение координаты точки D_1(4,3,5) : 4 - 4(3) + 4(5) - 12 = 4 - 12 + 20 - 12 = 0. Равенство 0=0 верное, следовательно точка D_1 принадлежит плоскости EFT .

б) Угол между плоскостями равен острому углу между их нормалями.

Вектор нормали к плоскости EFT : \vec{n_1}=\{1, -4, 4\} .

Плоскость BB_1C_1 — это координатная плоскость x=0 . Ее вектор нормали \vec{n_2} сонаправлен с осью Ox : \vec{n_2}=\{1, 0, 0\} .

Найдем косинус угла \varphi между нормалями: \cos\varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|1\cdot 1 + (-4)\cdot 0 + 4\cdot 0|}{\sqrt{1^2+(-4)^2+4^2}\cdot\sqrt{1^2}} = \frac{1}{\sqrt{33}}.

Ответ: б) \displaystyle \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{33}}\right) .

Пример 7.5

Ребро куба ABCDA_1B_1C_1D_1 равно 12. Точка P — середина ребра CB , точка K лежит на ребре CD так, что KD:KC=1:2 . Плоскость, проходящая через точки P, K и A_1 пересекает ребро DD_1 в точке M .

Докажите, что DM:D_1M = 1:4 .

Найдите угол между плоскостями PKA_1 и ABC .

Stereo_2_138_s Рис. 2: К примеру 7.5

Решение.

Введем систему координат с центром в точке B . Ось x направим вдоль BA , y — вдоль BC , z — вдоль BB_1 (рис. 2). Координаты точек:

A_1(12, 0, 12)

P(0, 6, 0)

K(8, 12, 0)

Пусть вектор нормали к плоскости сечения \vec{n}=\{A, B, C\} . Найдем его из условий перпендикулярности к двум векторам в плоскости, например \vec{PA_1} и \vec{PK} .

\vec{PA_1} = \{12, -6, 12\} \sim \{2, -1, 2\} ,

\vec{PK} = \{8, 6, 0\} \sim \{4, 3, 0\} .

Условие перпендикулярности: \begin{aligned}

(\vec{n}, \vec{PA_1}) = 0 &\implies 2A-B+2C=0 \\

(\vec{n}, \vec{PK}) = 0 &\implies 4A+3B=0

\end{aligned} Пусть B=1 \implies A=-3/4 . Тогда 2(-3/4)-1+2C=0 \implies C=5/4 , \vec{n} = \{-3/4, 1, 5/4\} \sim \{-3, 4, 5\} .

а) Уравнение плоскости сечения (используя точку P как опорную): -3(x-0) + 4(y-6) + 5(z-0) = 0 \implies -3x+4y+5z-24=0. Точка M лежит на ребре DD_1 , поэтому ее координаты имеют вид M(12, 12, z_1) . Подставим их в уравнение плоскости, чтобы найти z_1 : -3(12) + 4(12) + 5z_1 - 24 = 0 \implies z_1 = \frac{12}{5}. Тогда DM = z_1 = \frac{12}{5} . D_1M = 12 - z_1 = 12 - \frac{12}{5} = \frac{48}{5} . Найдем отношение: \frac{DM}{D_1M} = \frac{12/5}{48/5} = \frac{1}{4}.

б) Угол между плоскостями равен острому углу между их нормалями. В качестве вектора нормали к плоскости ABC (плоскость z=0 ) удобно взять \vec{k}=\{0, 0, 1\} . \cos\varphi = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{1}{\sqrt{2}}. Отсюда \varphi = \frac{\pi}{4} .

Ответ: б) \displaystyle \frac{\pi}{4} .