Метод. координат. Решение задач.: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 7.6

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с единичным ребром. Найдите расстояние от точки B до плоскости AB_1C .

Stereo_2_140_s

Рис. 3: К примеру 7.6

Решение.

Введем систему координат с началом в точке в B , ось x вдоль BA , ось y вдоль BC , ось z вдоль BB_1 (рис. 3).

A(1, 0, 0)

B_1(0, 0, 1)

C(0, 1, 0)

Векторы, лежащие в плоскости AB_1C :

\vec{AB_1} = \{-1, 0, 1\}

\vec{B_1C}=\{0,1,-1\} .

Пусть вектор нормали к плоскости \vec{N}=\{A, B, C\} . Условия перпендикулярности: \begin{aligned}

(\vec{AB_1}, \vec{N}) = 0 &\implies -A+C=0 \\

(\vec{B_1C}, \vec{N}) = 0 &\implies B-C=0.

\end{aligned} Пусть C=1 \implies A=1 . Тогда B-C=0 \implies B=1 . Вектор нормали \vec{N}=\{1, 1, 1\} . Возьмем точку A(1,0,0) в качестве опорной, запишем уравнение плоскости: 1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0 \implies x+y+z-1=0. Нормируем уравнение, |\vec{N}|=\sqrt{3} . \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{y}{\sqrt{3}} + \frac{z}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = 0. Найдем отклонение точки B(0,0,0) от плоскости: \delta_B = \frac{0}{\sqrt{3}} + \frac{0}{\sqrt{3}} + \frac{0}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}. Расстояние d=|\delta_B| = \frac{1}{\sqrt{3}} .

Ответ: \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} .

Пример 7.7

ЕГЭ-2022, основной вариант, №13.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точки M и N являются серединами ребер AB и AD соответственно.

Докажите, что прямые B_1N и CM перпендикулярны.

Плоскость \alpha проходит через точки N и B_1 параллельно прямой CM . Найдите расстояние от точки C до плоскости \alpha , если B_1N = 6 .

Stereo_2_141_s

Рис. 4: К примеру 7.7

Решение.

а) Пусть ребро куба равно a . Введем систему координат с началом в точке B . Ось x вдоль BA , ось y вдоль BC , ось z вдоль BB_1 (рис. 4). Тогда B_1(0,0,a) , N(a, a/2, 0) , C(0,a,0) , M(a/2, 0, 0) . Векторы:

\vec{B_1N} = \{a, a/2, -a\} \sim \{2, 1, -2\} .

\vec{CM} = \{a/2, -a, 0\} \sim \{1, -2, 0\} .

Скалярное произведение: (\vec{B_1N}, \vec{CM}) \sim (\{2,1,-2\}, \{1,-2,0\}) = 2-2+0=0. Так как скалярное произведение равно нулю, прямые перпендикулярны.

б) Длина вектора |\vec{B_1N}| через координаты |\vec{B_1N}| = \sqrt{a^2+(a/2)^2+(-a)^2} = \frac{3}{2}a. С другой стороны, по условию |\vec{B_1N}|=6 \implies \frac{3}{2}a=6 \implies a=4. Запишем уравнение плоскости \alpha . Пусть \vec{n}=\{A,B,C\} — вектор нормали. Плоскость \alpha проходит через N и B_1 и параллельна \vec{CM} , поэтому \begin{aligned}

\vec{n} \perp \vec{B_1N} &\implies (\vec{n}, \vec{B_1N})=0 \implies 2A+B-2C=0, \\

\vec{n} \perp \vec{CM} &\implies (\vec{n}, \vec{CM})=0 \implies A-2B=0.

\end{aligned} Пусть B=1 \implies A=2 . Тогда 5-2C=0 \implies C=5/2 . Отсюда \vec{n}=\{2, 1, 5/2\} \sim \{4, 2, 5\} . Возьмем B_1(0,0,4) как опорную точку. Уравнение плоскости: 4(x-0)+2(y-0)+5(z-4)=0 \implies 4x+2y+5z-20=0. Нормируем уравнение, |\vec{n}|=\sqrt{16+4+25}=\sqrt{45}=3\sqrt{5} . \frac{4}{3\sqrt{5}}x + \frac{2}{3\sqrt{5}}y + \frac{5}{3\sqrt{5}}z - \frac{20}{3\sqrt{5}} = 0. Найдем отклонение точки C(0,4,0) : \delta_C = 0 + \frac{2(4)}{3\sqrt{5}} + 0 - \frac{20}{3\sqrt{5}} = \frac{8-20}{3\sqrt{5}} = -\frac{12}{3\sqrt{5}} = -\frac{4}{\sqrt{5}}. Расстояние d_C = |\delta_C| = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} .

Ответ: б) \displaystyle \frac{4\sqrt{5}}{5} .