Куб. Углы между: плоскостями, прямой и плоскостью и прямыми в пространстве: Часть 1

Видео

Конспект

Угол между плоскостями

Пример 2.9

Постройте сечение куба ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью, проходящей через точки A и K параллельно A_1C_1 , где точка K\in C_1D_1 , C_1K:KD_1 = 3:1 . Найдите угол, который образует плоскость сечения с плоскостью ABC .

Решение.

В силу того, что сечение проходит через точку A параллельно A_1C_1 , оно пересекает плоскость ABC по прямой AC (рис. 1). Отрезок CK \in DD_1C_1 . Через точку K проведем прямую KL \parallel A_1C_1 , поскольку плоскость сечения параллельна A_1C_1 . Соединяя точки A и L , завершаем построение сечения.

Stereo_2_19

Рис. 1: К примеру 2.9

Линейным уголом двугранного угла является угол между перпендикулярами в плоскостях, восстановленными из точки O на линии пересечения плоскостей. Действительно, OD \perp AC , так как ABCD — квадрат, MO \perp AC по теореме о трех перпендикулярах. Рассмотрим \triangle OMN . Пусть MN = a , тогда ON = OD - ND = OD - MD_1 , \displaystyle MD_1 = \frac{a\sqrt 2}{8} из прямоугольного равнобедренного \triangle LKD_1 . Следовательно, OD = \frac{3a\sqrt 2}{8} , \displaystyle \tg \angle MON = \frac{4\sqrt 2}{3} .

Ответ: \displaystyle \arctg \frac{4\sqrt 2}{3} .

Задача 2.10

Постройте сечение куба ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью, проходящей через точки A , B_1 и K , где точка K\in BC , BK = KC . Найдите угол, который образует плоскость сечения с плоскостью ABC .

Решение.

1. Построение сечения. Соединяем точки A и B_1 (принадлежат грани AA_1B_1B ), B_1 и K (принадлежат грани BB_1C_1C ), A и K (принадлежат грани ABCD ). Таким образом, сечением является треугольник AB_1K (рис. 2).

2. Нахождение угла. Угол между плоскостью сечения (AB_1K) и плоскостью основания (ABC) — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями.

Линия пересечения плоскостей — прямая AK .

Построим линейный угол. В плоскости (ABC) опустим из точки B перпендикуляр BH на прямую AK .

BB_1 — перпендикуляр к плоскости (ABC) , значит BH — проекция наклонной B_1H на эту плоскость.

По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция BH перпендикулярна AK , то и наклонная B_1H перпендикулярна AK .

Следовательно, искомый угол — это \alpha = \angle B_1HB .

Stereo_2_15_s

Рис. 2: К задаче 2.10

3. Вычисления. Пусть ребро куба равно x .

Рассмотрим \triangle ABK в основании. Он прямоугольный с \angle B = 90^\circ . AB=x , BK = KC = x/2 . По теореме Пифагора: AK = \sqrt{AB^2 + BK^2} = \sqrt{x^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 + \frac{x^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}x}{2}

Найдем высоту BH треугольника \triangle ABK через площадь. S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{4} С другой стороны: S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}x}{2} \cdot BH Приравнивая два выражения для площади, получаем: \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}x}{2} \cdot BH = \frac{x^2}{4} \implies \frac{\sqrt{5}x}{4} \cdot BH = \frac{x^2}{4} \implies BH = \frac{x}{\sqrt{5}}

Рассмотрим прямоугольный треугольник \triangle B_1BH ( \angle B = 90^\circ ). Катет BB_1 = x (ребро куба). Катет BH = \frac{x}{\sqrt{5}} (из предыдущего пункта). \tg\alpha = \frac{BB_1}{BH} = \frac{x}{x/\sqrt{5}} = \sqrt{5}.

Ответ: \displaystyle \arctg \sqrt 5 .