Призмы. Углы и расстояния между прямыми в пространстве.: Часть 1

Видео

Конспект

Углы и расстояния между прямыми в пространстве

Пример 4.19

ЕГЭ-2017, основная волна, №14.

Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C . Прямые CA_1 и AB_1 перпендикулярны.

Докажите, что AA_1 = AC .

Найдите расстояние между прямыми CA_1 и AB_1 , если AC=6 , BC=3 .

Решение.

а) Так как призма прямая, то CC_1 \perp (A_1B_1C_1) , и, следовательно, CC_1 \perp B_1C_1 (рис. 1).

Stereo_2_80_s Рис. 1: К примеру 4.19

В основании A_1B_1C_1 угол \angle C_1=90^\circ , значит A_1C_1 \perp B_1C_1 . Поскольку прямая B_1C_1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым CC_1 и A_1C_1 в плоскости (ACC_1A_1) , то B_1C_1 \perp (ACC_1A_1) .

Прямая AC_1 является проекцией наклонной AB_1 на плоскость (ACC_1A_1) . По условию, прямая CA_1 перпендикулярна наклонной AB_1 . По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции. Следовательно, CA_1 \perp A_1C . Грань ACC_1A_1 — прямоугольник, диагонали которого ( CA_1 и AC_1 ) взаимно перпендикулярны. Это означает, что данный прямоугольник является квадратом. Следовательно, AA_1 = AC .

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Из пункта а) следует, что грань ACC_1A_1 — квадрат со стороной AC=AA_1=6 . Пусть Q — точка пересечения диагоналей этого квадрата. Q является серединой отрезков AC_1 и A_1C . Прямая A_1C перпендикулярна плоскости (AB_1C_1) (так как A_1C \perp AB_1 по условию, и A_1C \perp B_1C_1 , так как B_1C_1 \perp плоскости (ACC_1A_1) ). Проведем из точки Q , лежащей на прямой A_1C , перпендикуляр QH на прямую AB_1 . Так как QH лежит в плоскости (AB_1C_1) , а прямая A_1C перпендикулярна этой плоскости, то QH \perp A_1C . Таким образом, QH — общий перпендикуляр к прямым A_1C и AB_1 , и его длина — искомое расстояние.

Рассмотрим \triangle QAH и \triangle B_1C_1A . Из подобия этих треугольников (по двум углам) следует: \frac{QH}{C_1B_1} = \frac{QA}{B_1A} \implies QH = \frac{QA \cdot C_1B_1}{B_1A}. Найдем длины отрезков:

C_1B_1 = CB = 3 .

AC_1 — диагональ квадрата со стороной 6, AC_1 = 6\sqrt{2} . Q — середина AC_1 , значит QA = \frac{1}{2}AC_1 = 3\sqrt{2} .

В \triangle AC_1B_1 найдем сторону AB_1 . По теореме Пифагора для \triangle AC B : AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45} . Для \triangle AA_1B : AB_1 = \sqrt{AA_1^2+AB^2} = \sqrt{6^2+45} = 9 .

Подставляем значения в формулу: QH = \frac{3\sqrt{2} \cdot 3}{9} = \sqrt{2}. Ответ: б) \sqrt{2} .

Пример 4.20

Дана правильная треугольная призма ABCA_1B_1C_1 ребра основания, которой равны 2\sqrt{7} . Сечение проходящее, через боковое ребро AA_1 и середину M ребра B_1C_1 является квадратом.

а) Докажите, что расстояние между прямыми A_1B и AM равно длинне перпендикуляра опущенного из центра этого квадрата на прямую A_1B .

б) Найдите это расстояние.

Решение.

Ответ: б) .