Призмы. Углы и расстояния между прямыми в пространстве.: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 4.21

ЕГЭ-2018, досрочная волна; ЕГЭ-2022, основная волна.

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все ребра равны 2, точка M середина ребра AA_1 .

а) Докажите, что прямые MB и B_1C перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми MB и B_1C .

Решение.

Ответ: б) .

Пример 4.22

ЕГЭ-2021, резервный день, № 14.

В основании правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит \triangle ABC . На прямой AA_1 отмечена точка D так, что точка A_1 — середина отрезка AD . На прямой B_1C_1 отмечена точка E так, что C_1 — середина отрезка B_1E .

а) Докажите, что прямые A_1B_1 и DE перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE , если AB = 3 , AA_1 = 1 .

Решение.

а) По условию в \triangle A_1EB_1 медиана A_1 C_1 равна половине стороны, к которой она проведена \Rightarrow \triangle B_1 A_1 E прямоугольный, \angle A_1 C_1 E=90^{\circ} (рис. 2).

Stereo_2_82_s

Рис. 2: К примеру 4.22

Докажем это. \triangle A_1C_1E равнобедренный, \triangle A_1C_1 B_1 тоже равнобедренный. Сумма углов \triangle A_1EB_1 : 2\alpha + 2\beta = 180^{\circ} . Следовательно, \alpha + \beta = 90^{\circ} . DA_1 \perp (A_1 B_1 C_1) , DE — наклонная, A_1 E — ее проекция. A_1 B_1 \perp A_1 E , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах A_1 B_1 \perp DE .

б) Продлим B_1 C_1 за C_1 на расстояние, равное B_1 C_1 . Получим точку E_1 . AB \perp (ADE) , так как AB \perp A_1 A , AB \perp A_1 E (из п. а)). Следовательно, AB перпендикулярно любой прямой в плоскости ( ADE ). В частности, AH \perp DE , поэтому AH будет общим перпендикуляром к AB и DE . Рассмотрим \triangle ABE_1 , AE_1 = \sqrt{BE_1^2 - AB^2} = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt 3 . Из \triangle AEE_1 A E = \sqrt{AE_1^2 + EE_1^2} = \sqrt{27 + 1^2} = 2\sqrt{7} . \triangle ADE равнобедренный, так как EA_1 — медиана и высота. S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} AD \cdot A_1 E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} . С другой стороны S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} AH \cdot DE = \frac{1}{2} AH \cdot 2 \sqrt{7} = 3 \sqrt{3} . Следовательно, AH = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{21}}{7} .

Ответ: б) \displaystyle \frac{3\sqrt{21}}{7} .