Куб. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 1

Конспект

Основные понятия и утверждения

Параллельность прямых и плоскостей

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Скрещивающиеся прямые

Два луча OA и O_1A_1 , не лежащие на одной прямой, называют сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости, граница которой OO_1 . Лучи OA и O_1A_1 , лежащие на одной прямой, называют сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой. На рисунке 1 лучи OA и O_1 A_1 , а также лучи O_2 B_2 и A_2 B_2 сонаправлены, а лучи OA и O_2 A_2 , O_2 A_2 и O_2 B_2 не являются сонаправленными.

Stereo_6

Рис. 1: Сонаправленные лучи

Stereo_7 Рис. 2: Перпендикуляр и наклонная

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между пересекающимися прямыми a' и b' параллельными прямым a и b соответственно.

Перпендикулярность прямых в пространстве, прямой и плоскости

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^\circ .

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Если две плоскости перпендикулярны к некоторой прямой, то они параллельны.

Углы между прямыми и плоскостями

Рассмотрим плоскость \alpha и точку A , не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку A прямую, перпендикулярную к плоскости \alpha , и обозначим буквой H точку пересечения этой прямой с плоскостью \alpha (рис. 3). Отрезок AH называется перпендикуляром, проведенным из точки A к плоскости \alpha , а точка H — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости \alpha какую-нибудь точку M , отличную от H , и проведем отрезок AM . Он называется наклонной, проведенной из точки A к плоскости \alpha , а точка M — основанием наклонной. Отрезок HM называется проекцией наклонной на плоскость \alpha .

Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. Длина перпендикуляра, проведенного из точки A к плоскости \alpha , называется расстоянием от точки A до плоскости \alpha .

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a , называемой ребром двугранного угла, причем полуплоскости не принадлежат одной плоскости.

Угол, образованный при сечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру, называется линейным углом данного двугранного угла.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Наименьший из четырех двугранных углов, образованных двумя пересекающимися плоскостями, называется углом между плоскостями.

Теорема о трех синусах. Синус угла, образованного прямой, лежащей в плоскости одной из граней двугранного угла, с другой гранью, равен произведению синуса двугранного угла на синус угла, который упомянутая прямая составляет с ребром двугранного угла.

Проекцией1 точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости. На рисунке 4 точка M_1 — проекция точки M на плоскость \alpha . Пусть F — какая-нибудь фигура в пространстве. Если построить проекции всех точек этой фигуры на данную плоскость, получится фигура F_1 , которая называется проекцией фигуры F на данную плоскость.

Stereo_8

Рис. 3: Проекции точки и фигуры на плоскость

Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

(Теорема о трех перпендикулярах) Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

(Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах) Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и ее проекции.

Площадь \displaystyle S_{пр} ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади \displaystyle S_{ф} проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла \varphi между плоскостями многоугольника и его проекции: \displaystyle S_{пр} = S_{ф} \cdot \cos\varphi .

Перпендикулярность плоскостей

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^\circ .

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно линии пересечения плоскостей, перпендикулярна к другой плоскости.

Трехгранный угол

Рассмотрим три луча OA , OB и OC , не лежащие в одной плоскости. Фигура, состоящая из углов AOB , BOC и COA и их внутренних областей, называется трехгранным углом OABC , а указанные углы — плоскими углами данного трехгранного угла.

Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360^\circ .

Косинусы двугранных углов \varphi , \psi и \theta , образованных гранями трехгранного угла, выражаются через плоские углы \alpha , \beta и \gamma при его вершине формулами: \begin{array}{c}

\displaystyle \cos \varphi = \frac{\cos \alpha - \cos \beta \cdot \cos \gamma}{\sin \beta \cdot \sin \gamma},~~

\displaystyle\cos \psi = \frac{\cos \beta - \cos \gamma \cdot \cos \alpha}{\sin \gamma \cdot \sin \alpha},\\

\displaystyle\cos \theta = \frac{\cos \gamma - \cos \alpha \cdot \cos \beta}{\sin \alpha \cdot \sin \beta},

\vphantom{\int\limits^1}

\end{array} где \varphi , \psi и \theta — величины двугранных углов, противолежащих граням с плоскими углами \alpha ; \psi — грани с плоским углом \beta ; \theta — грани с плоским углом \alpha , \beta и \gamma соответственно.

Пусть \alpha — величина угла между наклонной l и ее проекцией на плоскость \tau , \beta — величина угла между проекцией наклонной l и прямой, проведенной через основание той же наклонной в плоскости проекции, и \gamma — величина угла между наклонной l и прямой, проведенной через ее основание в плоскости проекции. Справедливо следующее соотношение: \cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta.

Имеется в виду прямоугольная (или ортогональная) проекция.↩︎