Куб. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 2

Видео

Конспект

Куб

Начнем с куба, как и в первой части. Так как вычисление площади поверхности и объема куба, а также различных углов не представляет проблемы, сразу перейдем к построению сечений, проходящих через три произвольно заданные точки.

Построение сечений. Площадь сечения

Пример 2.1

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 . Пусть на ребре C_1D_1 задана точка K , на ребре CC_1 задана точка L , а на ребре AD — точка M , как показано на рис. 4. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки K , L , M .

Stereo_2_1

Рис. 4: К примеру 2.1

Stereo_2_2

Рис. 5: К примеру 2.1

Stereo_2_3

Рис. 6: К примеру 2.1

Stereo_2_4

Рис. 7: К примеру 2.1

Решение.

Обозначим искомую плоскость \alpha . Точки K и L лежат в плоскости DD_1C . Проведем через эти точки прямую и продолжим ребро DC , также лежащее в плоскости DD_1C , до пересечения с этой прямой в точке P_1 (рис. 5). Отрезок KL — линия пересечения плоскости \alpha с плоскостью DD_1C .

Точка P_1 принадлежит как плоскости ABC , так и плоскости сечения \alpha . Проведем прямую MP_1 (рис. 6), по которой плоскость сечения пересекает плоскость ABC . Соединим точку P_2 — точку пересечения прямых MP_1 и BC — с точкой L . Отрезок P_2L — линия пересечения плоскости \alpha и плоскости BB_1C . Плоскости ABC и A_1B_1C_1 параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Проведем в плоскости A_1B_1C_1 через точку K прямую, параллельную P_2M (рис. 7). Она пересекает A_1D_1 в точке P_3 . Соединяя P_3 и M , получаем сечение куба плоскостью \alpha : KLP_2MP_3 (рис. 8).

Stereo_2_5

Рис. 8: К примеру 2.1

Задача 2.2

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 . Пусть на ребре AB задана точка K , на ребре B_1C_1 задана точка L , а на ребре AA_1 — точка M , как показано на рис. 9. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K , L , M .

Stereo_2_6

Рис. 9: К задаче 2.2

Ответ: рис. 10.

Ответ к задаче 2.2 на построение сечений:

Stereo_2_7

Рис. 10: К задаче 2.2

Пример 2.3

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром a , точка M — середина ребра C_1D_1 . Постройте сечение куба плоскостью AB_1M и найдите его площадь.

Stereo_2_8

Рис. 11: К примеру 2.3

Stereo_2_16

Рис. 12: К примеру 2.3

Решение.

Построим сечение AB_1ML куба (рис. 11). Оно представляет собой равнобедренную трапецию. Действительно, если две параллельные плоскости ( AA_1B_1 и DD_1C_1 ) пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны, поэтому AB_1 \| LM . Кроме того, \triangle ADL = \triangle B_1C_1M по двум катетам, поэтому трапеция равнобедренная. Ее боковую сторону можно найти из \triangle B_1MC_1 : B_1M = \sqrt{B_1C_1^2 + MC_1^2} =

\sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt 5}{2} . В равнобедренной трапеции B_1MLA (рис. 12) проведем высоты MH_1 и LH_2 , они отсекают равные отрезки B_1H_1 и H_2A . Отрезок \displaystyle B_1H_1 = \frac{B_1A - ML}{2} = \frac{1}{2} \left( a\sqrt 2 - \frac{a\sqrt 2}{2} \right) . В \triangle B_1MH_1 по теореме Пифагора высота трапеции MH_1 = \sqrt{B_1M^2 - B_1H_1^2} =

\sqrt{\left(\frac{a\sqrt 5}{2} \right)^2 - \left(\frac{a\sqrt 2}{4} \right)^2} =

\frac{3a}{2\sqrt 2}. Отсюда площадь сечения \displaystyle S = \frac{1}{2} \left( \frac{a\sqrt 2}{2} + a \sqrt 2 \right) \cdot \frac{3a}{2\sqrt 2} = \frac{9a^2}{8}. Ответ: \displaystyle \frac{9a^2}{8} .