Параллелепипед.Угол между плоскостями: Часть 1

Видео

Конспект

Угол между плоскостями

Пример 3.11

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1 , в основании которого лежит квадрат ABCD со стороной 4 , ребро AA_1 = 6 . Найдите угол между плоскостями AB_1D_1 и A_1B_1C_1 .

Stereo_2_32 Рис. 1: К примеру 3.11

Решение.

Угол между плоскостями по величине равен линейному углу: острому углу, образованному перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, восстановленными из одной точки. B_1D_1 — линия пересечения рассматриваемых плоскостей. A_1O \perp B_1D_1 , так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, AO \perp B_1D_1 по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, \angle A_1OA — искомый. Из \triangle AA_1O \displaystyle \tg \angle A_1OA = \frac{AA_1}{A_1O} = \frac{6}{2\sqrt2} .

Ответ: \displaystyle \arctg\frac{3\sqrt 2}{2} .

Задача 3.12

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны рёбра AB = 35 , AD = 12 , CC_1 = 21 .

а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A_1BD , проведённые к стороне BD , имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и A_1DB .

Решение.

а) Поскольку ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед, ребро AA_1 перпендикулярно плоскости основания ABC . Проведём в плоскости основания высоту AH из вершины A к стороне BD в треугольнике ABD . Таким образом, AH \perp BD (рис. 2).

Stereo_2_41_s Рис. 2: К задаче 3.12

Рассмотрим наклонную A_1H и её проекцию на плоскость основания ABC , которой является отрезок AH . Так как проекция AH перпендикулярна прямой BD , лежащей в плоскости, то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная A_1H перпендикулярна прямой BD . Следовательно, A_1H является высотой треугольника A_1BD , проведённой к стороне BD . Таким образом, высоты AH и A_1H имеют общее основание — точку H .

б) Угол между плоскостями (ABC) и (A_1DB) — это двугранный угол, измеряемый линейным углом между перпендикулярами, проведёнными к общей линии пересечения BD . Из пункта (а) мы знаем, что такими перпендикулярами являются AH и A_1H . Следовательно, искомый угол \varphi равен \angle A_1HA .

Найдём длины сторон в прямоугольном \triangle A_1HA . Катет AA_1 = CC_1 = 21 . Для нахождения катета AH рассмотрим \triangle ABD в основании. Это прямоугольный треугольник с катетами AB=35 и AD=12 . Гипотенуза BD = \sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{35^2+12^2} = 37 . Площадь \triangle ABD можно выразить двумя способами: S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH, \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 37 \cdot AH \Longrightarrow AH = \frac{35 \cdot 12}{37} = \frac{420}{37}. Теперь в прямоугольном \triangle A_1HA найдём тангенс угла \varphi : \tg\varphi = \frac{AA_1}{AH} = \frac{21}{\frac{420}{37}} = \frac{37}{20}. Следовательно, искомый угол: \varphi = \arctg\frac{37}{20}.

Ответ: б) \displaystyle \arctg \frac{37}{20} .

Пример 3.13

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания AB равна 2\sqrt{3} , а боковое ребро AA_1 равно 3 . На рёбрах A_1D_1 и DD_1 отмечены соответственно точки K и M так, что A_1K = KD_1 , a DM: MD_1 = 2:1 .

а) Докажите, что прямые MK и BK перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMK и BCC_1 .

Stereo_2_75 Рис. 3: К примеру 3.13

Решение.

а) Найдем стороны \triangle BKM . Для этого сначала рассмотрим прямоугольный \triangle A_1B_1K . По теореме Пифагора \displaystyle B_1K = \sqrt{15} . Далее, из прямоугольного \triangle BB_1K получаем BK = 2\sqrt 6 . Аналогично из прямоугольных \triangle BMD и \triangle KD_1M BM = 2\sqrt 7 , KM = 2 . По теореме, обратной теореме Пифагора, в \triangle BKM заключаем, что BK \perp MK .

б) Поскольку плоскость AA_1D_1 параллельна плоскости BB_1C_1 , то плоскость BKM образует с плоскостью AA_1D_1 такой же угол, что и с плоскостью BB_1C_1 . Так как AB \perp AA_1D_1 , то AB\perp KM . Кроме того, BK\perp KM по доказанному в п. а), поэтому плоскость AKB \perp KM . Отсюда вытекает, что AK \perp KM , следовательно, \angle AKB — линейный угол искомого двугранного угла. Найдем \angle AKB из \triangle AKB по теореме косинусов: \cos \angle AKB = \frac{AK^2 + BK^2 - AB^2}{2 AK \cdot KB} = \frac{12 + 24 - 12}{2\cdot 2\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 6} = \frac{1}{\sqrt 2}. Значит, \angle AKB = 45^\circ .

Ответ: б) 45^\circ .