Параллелепипед.Угол между плоскостями: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 3.18

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 , проходящее через точку B_1 и середину AD параллельно диагонали основания AC , и найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания ABC , если AB = AD = 2\sqrt 2 , BB_1 = 3 . Ответ дайте в градусах.

Ответ: сечение на рис. 13; 45^\circ .

Stereo_2_36 Рис. 13: К задаче 3.18

Пример 3.19

ЕГЭ-2016, пробный вариант, С.Петербург, №14.

В правильной четырехугольной призме KLMNK_1L_1M_1N_1 точка E делит боковое ребро KK_1 в отношении KE:EK_1=1:3 . Через точки L и E проведена плоскость \alpha , параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN_1 в точке F .

Докажите, что плоскость \alpha делит ребро NN_1 пополам.

Найдите угол между плоскостью KLMN и плоскостью \alpha , если известно, что KL=6 , KK_1=4 .

Решение.

а) Пусть KE = x , EK_1 = 3x . Построим сечение параллелепипеда плоскостью \alpha . Так как точки E и L принадлежат одной грани KK_1L_1L , мы можем соеднинить их (рис. 14).

Stereo_2_49_s Рис. 14: К примеру 3.19

Поскольку плоскость \alpha параллельна диагонали основания KM , то диагональное сечение KK_1M_1M она пересекает по прямой EP_1 \parallel KM . Точки P_1 и L принадлежат одной грани LL_1M_1M , соединим их. Так как грани KK_1L_1L и NN_1M_1M параллельны, то плоскость \alpha пересекает их по параллельным прямым. Проведем P_1P_2 \parallel LE . Далее соединим точки E и P_2 (они принадлежат грани KK_1N_1N ), что завершает построение сечения. \triangle P_2NL , OO_2 — средняя линия, следовательно, P_2N = 2OO_2 = 2x = \frac{1}{2} NN_1 , так как NN_1 = 4x .

б) Прямая KM \perp (NN_1L_1L) , следовательно, KM\perp NL , KM \perp LP_2 , поэтому \angle NLP_2 равен линейному углу двугранного угла между плоскостями (KNM) и (ELP_1) . Рассмотрим \triangle P_2NL : NL = 6\sqrt 2 , P_2N = 2 , \tg P_2NL = \frac{P_2N}{NL} = \frac{2}{6\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{6} . Следовательно, \angle P_2NL = \arctg \frac{\sqrt 2}{6} .

Ответ: б) \arctg\frac{\sqrt{2}}{6}