Конусы и цилиндры: Часть 1

Видео

Конспект

Конусы и цилиндры

Конусы

Пример 6.1

ЕГЭ-2013, основная волна, резервный день, №14.

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4.

Докажите, что сечение является равнобедренным остроугольным треугольником.

Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Stereo_2_124_s Рис. 1: К примеру 6.1

Решение.

а) Пусть S — вершина конуса, O — центр основания, MN — хорда, сечение — \triangle MSN (рис. 1). SM и SN — образующие конуса. Найдем их длину. Образующая SA = \sqrt{SO^2+OA^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10 . Таким образом, SM=SN=10 . Следовательно, \triangle MSN — равнобедренный. Чтобы доказать, что он остроугольный, нужно проверить, что все углы меньше 90^\circ . В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине S . По теореме косинусов для \triangle MSN : \cos(\angle MSN) = \frac{SM^2+SN^2-MN^2}{2 \cdot SM \cdot SN} = \frac{10^2+10^2-4^2}{2 \cdot 10 \cdot 10} > 0. Так как косинус угла положителен, угол острый. Следовательно, \triangle MSN — остроугольный.

б) Проведем радиус AO \perp MN . L — середина MN . Так как MN \perp OL и MN \perp SO (высота перпендикулярна основанию), то MN \perp плоскости (SLO) . Искомое расстояние от точки O до плоскости (SMN) — это высота OH , проведенная из точки O к линии пересечения плоскостей, то есть к прямой SL , поскольку OH\perp MN , OH\perp SL , следовательно, OH\perp (SMN) .

Найдем элементы \triangle SLO :

SO = 8 (высота).

В \triangle ONL : ON=6 (радиус), NL=\frac{1}{2}MN=2 . OL = \sqrt{ON^2 - LN^2} = \sqrt{6^2-2^2} = 4\sqrt{2}.

В \triangle SLO : SL = \sqrt{LO^2+SO^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2+8^2} = 4\sqrt{6}.

Найдем высоту OH в прямоугольном \triangle SLO через площадь. S_{SLO} = \frac{1}{2} LO \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 = 16\sqrt{2}. С другой стороны: S_{SLO} = \frac{1}{2} SL \cdot OH \implies 16\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{6} \cdot OH. 16\sqrt{2} = 2\sqrt{6} \cdot OH \implies OH = \frac{8\sqrt{3}}{3}.

Ответ: б) \frac{8\sqrt{3}}{3} .

Пример 6.2

ЕГЭ-2014, досрочная волна, №14.

Радиус основания конуса с вершиной P равен 6 , а длина его образующей равна 9 . На окружности основания конуса выбраны точки A и B , делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5 .

Докажите, что сечение конуса плоскостью ABP — равнобедренный остроугольный треугольник.

Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP .

Stereo_2_125_s Рис. 2: К примеру 6.2

Решение.

а) Длина дуги AB составляет \frac{1}{6} от длины всей окружности. Следовательно, центральный угол \displaystyle\angle AOB = \frac{1}{6} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{3} . Рассмотрим \triangle AOB (рис. 2). Так как OA=OB=6 (радиусы) и угол между ними 60^\circ , то \triangle AOB — равносторонний. Следовательно, длина хорды AB=6 .

Сечение конуса — треугольник ABP . Его стороны AP и BP — образующие конуса, поэтому AP=BP=9 . Таким образом, \triangle ABP — равнобедренный. Чтобы доказать, что он остроугольный, проверим знак косинуса угла при вершине P : \cos(\angle APB) = \frac{AP^2+BP^2-AB^2}{2 \cdot AP \cdot BP} = \frac{9^2+9^2-6^2}{2 \cdot 9 \cdot 9} > 0. Так как косинус угла положителен, угол острый. Следовательно, \triangle ABP — остроугольный.

б) Проведем в равнобедренном \triangle ABP медиану и высоту PH к основанию AB . H — середина AB , AH=3 . В прямоугольном \triangle APH : PH = \sqrt{AP^2-AH^2} = \sqrt{9^2-3^2} = 6\sqrt{2}. Площадь сечения \triangle ABP : S_{ABP} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}.

Ответ: б) 18\sqrt{2} .

Пример 6.3

На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB=BC . Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.

Точка N — середина отрезка AC . Докажите, что угол MNB прямой.

Найдите угол между прямыми AM и SB , если AS=2 , AC=\sqrt{6} .

Stereo_2_126_s Рис. 3: К примеру 6.3

Решение.

а) Поскольку медиана AM в \triangle ASC пересекает высоту конуса, плоскость (ASC) содержит высоту конуса. Следовательно, AC — диаметр основания конуса, а SN — его высота (рис. 3). В \triangle ABC , BN — медиана и высота, так как AB=BC . BN \perp AC . Также BN \perp SN (высота конуса перпендикулярна основанию). Следовательно, BN \perp (SAC) . Так как MN \subset (SAC) , то BN \perp MN , и \angle BNM=90^\circ .

б) Проведем OK \parallel SB , где O — точка пересечения медиан в \triangle ASC . Искомый угол — \angle AOK . В \triangle SAC найдем длину медианы AM . SC=AS=2 , AM = \frac{1}{2}\sqrt{2(AS^2+AC^2)-SC^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2(4+6)-4} = 2. Следовательно, AO=\frac{2}{3}AM = \frac{4}{3} . В \triangle SNB , SB=2 , SN = \sqrt{SB^2-NB^2} = \sqrt{4-3/2} = \sqrt{5/2}. \triangle NOK \sim \triangle NSB , следовательно, \frac{OK}{SB} = \frac{NO}{NS} \implies OK = \frac{1}{3}SB = \frac{2}{3}, \quad NK = \frac{1}{3}NB = \frac{1}{\sqrt{6}}. В \triangle ANK : AK^2 = AN^2+NK^2 = \frac{3}{2}+\frac{1}{6} = \frac{5}{3} . В \triangle AOK по теореме косинусов: \cos(\angle AOK) = \frac{AO^2+OK^2-AK^2}{2 \cdot AO \cdot OK} = \frac{(4/3)^2+(2/3)^2-5/3}{2 \cdot 4/3 \cdot 2/3} = \frac{5}{16}. \angle AOK = \arccos\left(\frac{5}{16}\right).

Ответ: б) \arccos\left(\frac{5}{16}\right) .