Конусы и цилиндры: Часть 3

Видео

Конспект

Пример 6.6

Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания. Определите отношение объемов полученных частей конуса.

Stereo_2_131_s Рис. 7: К примеру 6.6

Решение.

\triangle ABC — сечение данного конуса с высотой BO , о котором говорится в условии задачи. Пусть R — радиус основания конуса, H — его высота (рис. 7). Так как AC = R , то \triangle AOC — равносторонний, и его площадь S_{\triangle} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4} . Площадь сегмента, ограниченного хордой AC и дугой AmC : S_1 = \frac{\pi R^2}{6} - \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{R^2(2\pi - 3\sqrt{3})}{12}. Площадь большего сегмента, образованного хордой AC и дугой AnC : S_2 = \frac{5\pi R^2}{6} + \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{R^2(10\pi + 3\sqrt{3})}{12}. Тогда отношение объемов: \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} S_1 \cdot H}{\frac{1}{3} S_2 \cdot H} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{R^2(2\pi - 3\sqrt{3})}{12}}{\frac{R^2(10\pi + 3\sqrt{3})}{12}} = \frac{2\pi - 3\sqrt{3}}{10\pi + 3\sqrt{3}}. Ответ: \frac{2\pi - 3\sqrt{3}}{10\pi + 3\sqrt{3}} .

Цилиндры

Пример 6.7

ЕГЭ-2014, основная волна, №14.

Высота цилиндра равна 5 , а радиус основания 10 .

Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания.

Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.

Stereo_2_132_s Рис. 8: К примеру 6.7

Решение.

а) S_{бок} = 2\pi r \cdot h = 2\pi \cdot 10 \cdot 5 = 100\pi .

S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi .

Следовательно, S_{осн} = S_{бок} .

б) Рассмотрим \triangle ABO в основании цилиндра, где O — центр основания, AB — хорда, по которой плоскость сечения пересекает основание (рис. 8). Поскольку AO = BO = R = 10 , треугольник ABO равнобедренный, выстота OM — расстояние от оси до плоскости сечения, OM = 6 и OM \perp AB . В равнобедренном \triangle ABO высота OM является также медианой.

Рассмотрим прямоугольный \triangle BMO : По теореме Пифагора: BM^2 = BO^2 - OM^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \Longrightarrow

BM = 8. Так как M — середина AB , то AB = 2 \cdot BM = 2 \cdot 8 = 16 .

Сечение AA_1B_1B является прямоугольником со сторонами AB и высотой цилиндра h=AA_1 . Площадь сечения S_{AA_1B_1B} = AB \cdot AA_1 = 16 \cdot 5 = 80.

Ответ: б) 80 .

Пример 6.8

Диаметр окружности основания цилиндра равен 26 , образующая цилиндра равна 21 . Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10 . Расстояние между этими хордами равно \sqrt{730} .

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Stereo_2_133_s Рис. 9: К примеру 6.8

Решение.

а) Радиус основания цилиндра R = 26/2 = 13 . Высота (образующая) H = 21 . Найдем расстояния от центра основания до каждой из хорд (рис. 9). Пусть d_1 — расстояние от центра до хорды длиной 10 : d_1 = \sqrt{R^2 - (10/2)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12. Пусть d_2 — расстояние от центра до хорды длиной 24 : d_2 = \sqrt{R^2 - (24/2)^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5. Существует две возможности расположения хорд в проекции на основание: по одну сторону от центра или по разные стороны.

Случай 1: Хорды лежат по одну сторону от центра. Из \triangle C_1CC_3 расстояние между хордами CC_1 = \sqrt{CC_3^2 + C_1C_3^2}= \sqrt{21^2 + (12 -5)^2} = \sqrt{490}. Это не соответствует условию ( \sqrt{490} \neq \sqrt{730} ), поэтому этот случай невозможен.

Случай 2: Хорды лежат по разные стороны от центра. Из \triangle C_2CC_3 расстояние между хордами CC_2 = \sqrt{CC_3^2 + C_2C_3^2}= \sqrt{21^2 + (12 + 5)^2} = \sqrt{730}. Это соответствует условию, следовательно, центры оснований лежат по разные стороны от секущей плоскости.

б) Угол \alpha между секущей плоскостью и плоскостью основания соответствует \angle CC_2C_3 , так как это линейный угол двугранного угла между данными плоскостями. Из \triangle CC_2C_3 \tg\alpha = \frac{CC_3}{C_2C_3} = \frac{21}{17}. Следовательно, искомый угол: \alpha = \arctg\left(\frac{21}{17}\right).

Ответ: б) \displaystyle \arctg\frac{21}{17} .

Пример 6.9

ЕГЭ-2018, основной экзамен, №14.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1 , причем BB_1 — образующая цилиндра, а отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра.

Докажите, что \angle ABC_1 прямой.

Найдите угол между прямыми BB_1 и AC_1 , если AB=8 , B_1C_1 = 15 , BB_1 = 6 .

Stereo_2_134_s Рис. 10: К примеру 6.9

Решение.

а) Так как AC_1 пересекает ось OO_1 , то проекция AC_1 на нижнее основание, то есть AC , проходит через точку O . Следовательно, \angle ABC = 90^\circ , так как он опирается на диаметр (рис. 10). По теореме о трех перпендикулярах \angle ABC_1 = 90^\circ : CC_1 — перпендикуляр, C_1B — наклонная, CB — проекция наклонной.

б) Из \triangle ABC по теореме Пифагора \displaystyle AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{8^2+15^2} = 17. Прямые CC_1 \parallel BB_1 , поэтому \angle AC_1C — искомый. Из \triangle ACC_1 \displaystyle\tg \varphi = \frac{AC}{CC_1} = \frac{17}{6} .

Ответ: \displaystyle\arctg \frac{17}{6} .