Призмы. Построение сечений. Площадь сечения. Угол между плоскостями.: Часть 1

Видео

Конспект

Призмы

Построение сечений. Площадь сечения

Пример 4.1

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 стороны основания равны 10 , боковые ребра равны 12 .

а) Докажите, что сечение, проходящее через вершины A , B и середину ребра A_1C_1 , является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь данного сечения.

Stereo_2_76

Рис. 1: К примеру 4.1

Решение.

а) Поскольку плоскости ABC и A_1B_1C_1 параллельны, плоскость сечения, проходящего через вершины A , B и середину M_1 ребра A_1C_1 , пересекает их по параллельным прямым M_1N_1 и AB . Кроме того, \triangle AA_1M_1 = \triangle BB_1N_1 по двум катетам. Отсюда следует, что AM_1N_1B — равнобедренная трапеция.

б) По условию A_1M_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 = 5 , AA_1 = 12 . Из прямоугольного треугольника AA_1M_1 получаем, что AM_1 = 13 . Далее, M_1N_1 = \frac{1}{2} A_1B_1 = 5 как средняя линия \triangle A_1B_1C_1 . Проведем в равнобедренной трапеции AM_1N_1B высоты M_1H_1 и N_1 H_2 (рис. 2), причем AH_1 = BH_2 = \frac{5}{2} . Из прямоугольного треугольника AM_1H_1 находим высоту трапеции \displaystyle AH_1 = \sqrt{13^2 - \frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{651}}{2} . Следовательно, S_{AM_1N_1B} = \frac{1}{2} ( 5 + 10) \cdot \frac{\sqrt{651}}{2} = \frac{15\sqrt{651}}{4}.

Stereo_2_77 Рис. 2: К примеру 4.1

Ответ: б) \displaystyle \frac{15}{4}\sqrt{651} .

Пример 4.2

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 стороны основания равны 5 , а боковые ребра равны 11 .

а) Докажите, что прямые CA_1 и C_1D_1 перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C , A_1 и F_1 .

Stereo_2_41 Рис. 3: К примеру 4.2

Решение.

а) Из свойств правильного шестиугольника ABCDEF AC \perp DC , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах C A_1 \perp DC . Так как C_1 D_1 \parallel C D , то C A_1 \perp C_1 D_1 .

б) Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через вершины C , A_1 и F_1 . Параллельные основания призмы плоскость сечения пересекает по параллельным прямым. Так как сечение проходит через точку C , то оно пройдет и через точку D , поскольку DC \parallel A_1F_1 . Продолжим отрезки AB и DC до их пересечения в точке Q . Точка Q принадлежит плоскости сечения, плоскости основания ABC и плоскости ABB_1 . Прямая A_1Q \in ABB_1 и пересекает BB_1 в точке M . Так как \triangle BCQ равносторонний и AB = BC , то AB = BQ . Поскольку AA_1 \parallel BB_1 , то MB — средняя линия \triangle AA_1Q , следовательно, BM = B_1M = \frac{1}{2} AA_1 = \frac{5}{2} . Плоскость сечения пересекает грань FF_1E_1E по прямой F_1N \parallel MC , причем EN = E_1N . Аналогично, грань EE_1D_1D — по прямой DN \parallel A_1M . Таким образом, сечение A_1F_1NDCM построено. Найдем его площадь. Так как из свойств правильного шестиугольника ABCDEF BE = 2 AB = 10 , а MN \parallel BE , то MN = 10 . Найдем A_1H (рис. 4). \displaystyle MH = \frac{1}{2}(MN - CD) = \frac{5}{2} . Из \triangle A_1B_1M A_1M = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1M^2}= \sqrt{25 + \frac{121}{4}} = \frac{\sqrt{221}}{2}. Из \triangle A_1MH A_1H = \sqrt{\frac{221}{4} - \frac{25}{4}} = 7 . Площадь трапеции MA_1F_1N равна S = \frac{5+10}{2} \cdot 7 = \frac{105}{2} . Следовательно, площадь всего сечения равна 2S = 105 .

Stereo_2_42 Рис. 4: К примеру 4.2

Ответ: б) 105 .

Задачи на отношения

Пример 4.3

ЕГЭ-2023, основной вариант, № 13.

Дана прямая призма ABCA_1B_1C_1 . ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB . На AB отмечена точка P такая, что AP:PB = 3:1 . Точка Q делит пополам ребро B_1C_1 . Точка M делит пополам ребро BC . Через точку M проведена плоскость \alpha , перпендикулярная PQ .

а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости \alpha .

б) Найдите отношение, в котором плоскость \alpha делит отрезок PQ , если AA_1 = 5 , AB = 12 , \displaystyle\cos \angle ABC = \frac{3}{5} .

Решение.

а) Докажем, что PQ \perp AB , тогда отсюда последует, что AB \parallel \alpha (рис. 7).

Stereo_2_62_s Рис. 7: К задаче 4.3

Пусть N — середина AB , тогда CN — биссектриса, медиана, высота равнобедренного \triangle ABC . Следовательно, CN \perp AB . Точка M — середина BC . Точка P делит AB в отношении 3:1 , значит PB = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 . Так как N — середина AB , то BN=6 . Тогда P является серединой отрезка BN . В \triangle BCN отрезок MP соединяет середины сторон BC и BN , следовательно, MP — средняя линия, и MP \parallel CN . Так как CN \perp AB и MP \parallel CN , то MP \perp AB .

Q — середина B_1C_1 , M — середина BC . Значит QM \parallel BB_1 . Так как призма прямая, BB_1 \perp (ABC) , следовательно QM \perp (ABC) . QP — наклонная к плоскости (ABC) , а MP — ее проекция. Поскольку проекция MP перпендикулярна прямой AB в плоскости (ABC) , то по теореме о трех перпендикулярах и наклонная QP перпендикулярна AB . Итак, QP \perp AB . Плоскость \alpha по условию перпендикулярна PQ . Так как прямая AB перпендикулярна PQ , то она параллельна плоскости \alpha .

б) Найдем стороны \triangle BCN . BN = \frac{1}{2}AB = 6 . В прямоугольном \triangle BCN ( \angle BNC = 90^\circ ): BC = \frac{BN}{\cos\angle ABC} = \frac{6}{3/5} = 10. CN = \sqrt{BC^2 - BN^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8. MP — средняя линия \triangle BCN , следовательно MP = \frac{1}{2}CN = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 . QM — отрезок, соединяющий середины параллельных ребер BC и B_1C_1 , его длина равна боковому ребру: QM = AA_1 = 5 . Рассмотрим \triangle QMP . Так как QM \perp (ABC) , то QM \perp MP , значит \triangle QMP — прямоугольный. По теореме Пифагора: QP = \sqrt{QM^2 + MP^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}. Плоскость \alpha проходит через точку M и перпендикулярна PQ . Пусть H — точка пересечения плоскости \alpha и отрезка PQ . Тогда MH \perp PQ , то есть MH — высота в прямоугольном \triangle QMP , проведенная к гипотенузе. Найдем, в каком отношении точка H делит гипотенузу PQ . Из прямоугольного треугольника известно, что проекция катета на гипотенузу равна квадрату катета, деленному на гипотенузу. Проекция катета MP на гипотенузу QP — это отрезок HP . HP = \frac{MP^2}{QP} = \frac{4^2}{\sqrt{41}} = \frac{16}{\sqrt{41}}. Проекция катета QM на гипотенузу QP — это отрезок HQ . HQ = \frac{QM^2}{QP} = \frac{5^2}{\sqrt{41}} = \frac{25}{\sqrt{41}}. Искомое отношение: \frac{PH}{HQ} = \frac{16/\sqrt{41}}{25/\sqrt{41}} = \frac{16}{25}.

Ответ: \displaystyle \frac{16}{25} .