Призмы. Построение сечений. Площадь сечения. Угол между плоскостями.: Часть 2

Видео

Конспект

Угол между плоскостями

Пример 4.4

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона основания AB=7\sqrt{3} , а боковое ребро AA_1=8 .

а) Докажите, что плоскость BCA_1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро AA_1 и середину ребра B_1C_1 .

б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA_1 и BB_1C_1 .

Решение.

Пусть M и M_1 — середины ребер BC и B_1C_1 соответственно. Плоскость, проходящая через ребро AA_1 и середину ребра B_1C_1 , — это плоскость (AA_1M_1) (рис. 8).

Stereo_2_63_s

Рис. 8: К примеру 4.4

а) В правильном треугольнике ABC медиана AM является и высотой, то есть AM \perp BC . Так как призма прямая, то AA_1 \perp (ABC) . Поскольку прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и M_1M в плоскости (AA_1M_1) , то BC \perp (AA_1M_1) . Так как плоскость (BCA_1) проходит через прямую BC , которая перпендикулярна плоскости (AA_1M_1) , то по признаку перпендикулярности плоскостей (BCA_1) \perp (AA_1M_1) .

б) Плоскости (BCA_1) и (BB_1C_1) пересекаются по прямой BC . A_1M \perp BC , так как \triangle A_1BC — равнобедренный ( A_1B=A_1C ), и A_1M — медиана, а следовательно, и высота. M_1M \perp BC , следовательно, \angle A_1MM_1 — линейный угол двугранного угла между плоскостями (BCA_1) и (BB_1C_1) . Обозначим этот угол \alpha .

Рассмотрим \triangle A_1M_1M . Он прямоугольный, так как M_1M \perp (A_1B_1C_1) . Его катеты: M_1M = AA_1 = 8 , A_1M_1 — высота в правильном \triangle A_1B_1C_1 со стороной 7\sqrt{3} : A_1M_1 = \frac{(7\sqrt{3})\sqrt{3}}{2} = \frac{21}{2}. Теперь найдем тангенс угла \alpha : \tg\alpha = \frac{A_1M_1}{M_1M} = \frac{21/2}{8} = \frac{21}{16}.

Ответ: б) \displaystyle \frac{21}{16} .

Задача 4.5

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона основания AB=8\sqrt{3} , а боковое ребро AA_1=5 .

а) Найдите длину отрезка A_1K , где K — середина ребра BC .

б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA_1 и BB_1C_1 .

Решение.

а) В правильном \triangle ABC AK — медиана, а значит и высота \Rightarrow AK \perp BC (рис. 9).

Stereo_2_64_s

Рис. 9: К задаче 4.5

Так как призма прямая, AA_1 \perp (ABC) , то AK — проекция наклонной A_1K на плоскость (ABC) . По теореме о трех перпендикулярах, A_1K \perp BC .

Найдем длину AK как высоту в равностороннем треугольнике: AK = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 12. Рассмотрим прямоугольный треугольник \triangle A_1AK (угол \angle A_1AK=90^\circ ): A_1K = \sqrt{AA_1^2 + AK^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13.

б) Пусть K_1 — середина ребра B_1C_1 . Прямая пересечения плоскостей (BCA_1) и (BB_1C_1) — это BC . Из пункта а) мы доказали, что A_1K \perp BC . Так как KK_1 \parallel BB_1 и BB_1 \perp BC , то KK_1 \perp BC . Следовательно, \angle A_1KK_1 — линейный угол двугранного угла между заданными плоскостями.

Рассмотрим \triangle A_1K_1K . Он прямоугольный ( \angle A_1K_1K = 90^\circ ), так как A_1K_1 \subset (A_1B_1C_1) и KK_1 \perp (A_1B_1C_1) . Катеты этого треугольника: KK_1 = AA_1 = 5, A_1K_1 = AK = 12. Найдем тангенс угла \varphi = \angle A_1KK_1 : \tg\varphi = \frac{A_1K_1}{KK_1} = \frac{12}{5}.

Ответ: а) 13 ; б) \displaystyle \frac{12}{5} .

Пример 4.6

ЕГЭ-2022, демонстрационный вариант, № 13.

Все ребра правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 имеют длину 6 . Точки M и N — середины ребер AA_1 и A_1C_1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB_1 .

Решение.

а) Для доказательства перпендикулярности прямых BM и MN воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора, для треугольника BMN (рис. 10).

Stereo_2_65_s

Рис. 10: К примеру 4.6

Найдем квадраты длин его сторон. M — середина AA_1 , поэтому AM=3 . В прямоугольном \triangle ABM : BM^2 = AB^2 + AM^2 = 6^2 + 3^2 = 45. N — середина A_1C_1 , M — середина AA_1 . В прямоугольном \triangle A_1NM (угол \angle MA_1N=90^\circ ): A_1M=3 , A_1N = \frac{1}{2}A_1C_1 = 3 . MN^2 = A_1M^2 + A_1N^2 = 3^2 + 3^2 = 18. Найдем BN^2 . N — середина A_1C_1 , B_1N — медиана в равностороннем \triangle A_1B_1C_1 . B_1N = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}. В прямоугольном \triangle B_1BN (угол \angle BB_1N=90^\circ ): BN^2 = BB_1^2 + B_1N^2 = 6^2 + (3\sqrt{3})^2 = 36 + 27 = 63. Проверим равенство для \triangle BMN : BM^2 + MN^2 = 45 + 18 = 63. Так как BN^2 = BM^2 + MN^2 , по теореме, обратной теореме Пифагора, \triangle BMN является прямоугольным с прямым углом при вершине M . Следовательно, BM \perp MN .

б) Плоскость ABB_1 — это плоскость боковой грани AA_1B_1B . Проведем NH \perp A_1B_1 . Так как грань AA_1B_1B перпендикулярна основанию A_1B_1C_1 , то NH — перпендикуляр к плоскости (ABB_1) . MH — проекция наклонной MN на плоскость (ABB_1) . Прямая BM является линией пересечения плоскостей (BMN) и (ABB_1) . Из пункта а) мы знаем, что MN \perp BM . По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная MN перпендикулярна прямой BM в плоскости (ABB_1) , то и ее проекция MH перпендикулярна BM . Следовательно, \angle NMH — линейный угол двугранного угла между плоскостями (BMN) и (ABB_1) . Обозначим этот угол \alpha .

Найдем стороны прямоугольного \triangle MNH (угол \angle MHN=90^\circ ). MN = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} (из п. а). NH — высота \triangle A_1NB_1 . Так как N — середина A_1C_1 , площадь \triangle A_1NB_1 равна половине площади \triangle A_1B_1C_1 . S_{A_1B_1C_1} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\Longrightarrow

S_{A_1NB_1} = \frac{1}{2}S_{A_1B_1C_1} = \frac{9\sqrt{3}}{2}. С другой стороны, S_{A_1NB_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot NH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot NH = 3 \cdot NH \Longrightarrow

3 \cdot NH = \frac{9\sqrt{3}}{2} \implies NH = \frac{3\sqrt{3}}{2}. Теперь найдем синус угла \alpha : \sin\alpha = \frac{NH}{MN} = \frac{3\sqrt{3}/2}{3\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{8}}.

Ответ: \displaystyle \arcsin \sqrt {\frac{3}{8}} .