Параллелепипед. Объем и смешанные задачи.: Часть 1

Видео

Конспект

Объем параллелепипеда

Пример 3.30

ЕГЭ-2022, основной вариант, № 13.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 на диагонали BD_1 отмечена точка N так, что BN:ND_1=1:2 . Точка O — середина отрезка CB_1 .

а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A .

б) Найдите объем параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 , если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD_1 и CB_1 и равна \sqrt 2 .

Stereo_2_56_s

Рис. 1: К примеру 3.30

Решение.

а) Рассмотрим плоскость AD_1CB . Прямые AO и D_1B лежат в этой плоскости и не параллельны, следовательно, они пересекаются в некоторой точке. Докажем, что эта точка делит диагональ BD_1 в отношении 1:2 , считая от точки B . Если это так, то она совпадает с точкой N , и, следовательно, точки A , N , O лежат на одной прямой.

Пусть BN = x , ND_1 = 2x . В плоскости AD_1CB проведем через точку O прямую OO_2 , параллельную AB и пересекающую BD_1 в точке M . \triangle ANB \sim \triangle ONM по двум углам. Отсюда \frac{MN}{NB} = \frac{MO}{AB} \Longrightarrow MN = \frac{1}{2} NB = \frac{1}{2} x,

D_1M = MB = \frac{3}{2} x \Longrightarrow D_1N = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} x = 2x. Следовательно, точка пересечения делит BD_1 в отношении 1:2 , считая от точки B .

б) По условию, длина отрезка NO равна расстоянию между скрещивающимися прямыми BD_1 и CB_1 . Это означает, что NO — их общий перпендикуляр, то есть NO \perp BD_1 и NO \perp CB_1 .

Из доказанного в пункте а) следует, что A, N, O лежат на одной прямой. Из подобия \triangle ANB \sim \triangle ONM следует, что AN = 2NO = 2\sqrt{2} .

Так как AO \perp CB_1 (поскольку NO \perp CB_1 ), то по теореме о трех перпендикулярах (рассматривая проекцию на плоскость BCC_1B_1 ) следует, что OB \perp CB_1 . В прямоугольнике BCC_1B_1 диагонали перпендикулярны только если он является квадратом. Следовательно, BB_1 = BC .

Обозначим AB=a , BC=BB_1=b . Рассмотрим прямоугольный \triangle BON ( \angle BNO=90^\circ , так как NO \perp BD_1 ). O — середина CB_1 , CB_1 — диагональ квадрата со стороной b , значит CB_1 = b\sqrt{2} . BO = \frac{1}{2}CB_1 = \frac{b\sqrt{2}}{2} . По теореме Пифагора для \triangle BON : BO^2 = BN^2 + NO^2 \implies \left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right)^2 = BN^2 + (\sqrt{2})^2 \implies \frac{b^2}{2} = BN^2 + 2 .

Рассмотрим \triangle ABN . По теореме Пифагора AB^2 = AN^2+BN^2 \Longrightarrow a^2 = 8 + x^2. Рассмотрим \triangle BON . BO^2 = BN^2 + NO^2 \Longrightarrow \frac{b^2}{2} = x^2 + 2. Из \triangle AD_1B BD_1^2 = AD_1^2 + AB^2 \Longrightarrow 9x^2 = 2B^2 + a^2. Решая полученную систему уравнений, находим, что b^2 = a^2 = 12 , следовательно, объем V = 12^{3/2} = 24\sqrt 3 .

Ответ: \displaystyle 24 \sqrt{3} .