Параллелепипед. Объем и смешанные задачи.: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 3.34

ЕГЭ-2016, основной вариант, юг, С2.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона AB основания равна 8 , а боковое ребро AA_1 равно \displaystyle 4\sqrt{2} . На ребрах BC и C_1D_1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C_1L = 2 . Плоскость \gamma параллельна прямой BD и содержит точки K и L .

а) Докажите, что прямая A_1C перпендикулярна плоскости \gamma .

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости \gamma .

Решение.

а) Рассмотрим диагональное сечение ACC_1A_1 . Пусть P и P_1 — точки пересечения плоскости \gamma с диагоналями AC и A_1C_1 соответственно. Пусть Q — точка пересечения прямых A_1C и PP_1 . AC = A_1C_1 = 8\sqrt{2} . Так как \gamma пересекает плоскость основания (ABC) по прямой, параллельной BD и проходящей через K , то точка P на AC такова, что CP = 3\sqrt{2} . Аналогично, в верхнем основании C_1P_1 = \sqrt{2} . Тогда AP_1 = 7\sqrt{2} . Длина диагонали призмы A_1C = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = 4\sqrt{10} . Отметим, что PP_2 = PC - P_1C_1 = 3\sqrt 2 - \sqrt 2 = 2\sqrt 2 . Из \triangle PP_1P_2 PP_1 = \sqrt{ P_1P_2^2 + P_2P^2} = \sqrt{ \left(4\sqrt 2\right)^2 + \left(2\sqrt 2\right)^2} = 2\sqrt{10}.

\triangle A_1QP_1 \sim \triangle CQP по двум углам. \frac{CQ}{A_1Q} = \frac{CP}{A_1P_1} = \frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} = \frac{3}{7} \implies A_1Q=\frac{7}{3}CQ. A_1Q+CQ = A_1C = 4\sqrt{10} \implies \frac{10}{3}CQ = 4\sqrt{10} \implies CQ = \frac{12}{\sqrt{10}} . A_1Q = \frac{28}{\sqrt{10}} . Аналогично PQ = \frac{6}{\sqrt{10}} , P_1Q = \frac{14}{\sqrt{10}} .

Проверим по теореме, обратной теореме Пифагора для \triangle PQC : PC^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18 . PQ^2+QC^2 = \frac{36}{10} + \frac{144}{10}= 18 . Следовательно, \triangle PQC прямоугольный, A_1C \perp PP_1 . Так как еще A_1C \perp BD , то A_1C \perp \gamma .

б) Так как BD \parallel \gamma , то расстояние от любой точки прямой BD до плоскости \gamma одинаково. Найдем расстояние от центра основания O (середина BD ) до \gamma . O лежит в плоскости ACC_1A_1 . Искомое расстояние — это высота OH в \triangle OQP , опущенная на прямую PP_1 . \triangle OPH \sim \triangle CQP по двум углам (где P — общая вершина, а углы при H и Q прямые). \frac{OH}{CQ} = \frac{OP}{CP} O — середина AC , AC=8\sqrt{2} , OC=4\sqrt{2} . CP=3\sqrt{2} , тогда OP = OC-CP = 4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2} . OH = \frac{OP}{CP} \cdot CQ = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}. Расстояние от точки B до плоскости \gamma равно расстоянию от точки O до \gamma .

Ответ: б) \displaystyle \frac{2\sqrt{10}}{5} .

Stereo_2_61_s

Рис. 5: К задаче 3.34