Параллелепипед. Объем и смешанные задачи.: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 3.31

Черноморский ф-л МГУ, 2008 (июль), № 6(10).

В прямоугольном параллелепипеде упорядоченные по возрастанию площади трех граней образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2 . Найдите объем параллелепипеда, если наименьшая площадь грани равна 1 см ^2 .

Решение.

Пусть a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда. Площади его граней равны ab, ac, bc . По условию, наименьшая площадь грани равна 1, а знаменатель прогрессии равен 2. Тогда площади граней равны 1, 2, 4.

Составим систему уравнений: \begin{cases} ab = 1, \\ ac = 2, \\ bc = 4. \end{cases} Разделим второе уравнение на первое: \frac{ac}{ab} = \frac{2}{1} \implies \frac{c}{b} = 2 \implies c = 2b. Подставим это в третье уравнение: b(2b) = 4 \implies 2b^2=4 \implies b^2=2 \implies b=\sqrt{2}. Теперь найдем a и c : a = \frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{2}}, c = 2b = 2\sqrt{2}. Объем параллелепипеда: V = abc = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}.

Stereo_2_58_s

Рис. 2: К задаче 3.31

Ответ: \displaystyle 2\sqrt2 см ^3 .

Пример 3.32

Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм, один из углов которого равен 30^\circ . Площадь основания равна 4 дм ^2 . Площади боковых граней параллелепипеда равны 6 и 12 дм ^2 . Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

Пусть a, b — стороны основания, а c — боковое ребро (высота). Площадь основания: S'_{осн} = ab \sin 30^\circ = 4 \Rightarrow ab = 8. Площади боковых граней: S_2 = ac = 6, ~~ S_3 = bc = 12. Из соотношения площадей боковых граней: \frac{a}{b} = \frac{ac}{bc} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \Rightarrow b=2a. Подставим в первое уравнение: a(2a) = 8 \Rightarrow 2a^2 = 8 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a=2. Отсюда находим b и c : b = 2a = 4,~~ c = \frac{6}{a} = \frac{6}{2} = 3. Объем параллелепипеда: V = c \cdot S_{осн} = 3 \cdot 4 = 12.

Stereo_2_59_s

Рис. 3: К задаче 3.32

Ответ: 12 дм ^3 .

Смешанные задачи

Пример 3.33

ЕГЭ-2016, основной вариант, юг, С2.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона AB основания равна 6 , а боковое ребро AA_1 равно \displaystyle 3\sqrt{2} . На ребрах BC и C_1D_1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = 4 , C_1L = 5 . Плоскость \gamma параллельна прямой BD и содержит точки K и L .

а) Докажите, что прямая AC_1 перпендикулярна плоскости \gamma .

б) Найдите расстояние от точки B_1 до плоскости \gamma .

Решение.

а) Рассмотрим диагональное сечение ACC_1A_1 . Пусть прямая MM_1 — линия пересечения плоскости \gamma с плоскостью ACC_1A_1 , где M \in AC , M_1 \in A_1C_1 . Пусть Q — точка пересечения AC_1 и MM_1 .

Отметим, что AC = 6\sqrt{2} . Точка M на AC такова, что AM = 6\sqrt{2}-\sqrt{2}=5\sqrt{2} . A_1C_1 = 6\sqrt{2} . Точка M_1 на A_1C_1 такова, что C_1M_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2} . Главная диагональ AC_1 = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = 3\sqrt{10} . \triangle M_2M_1M , M_2M = \frac{5\sqrt 2}{2} - \sqrt 2 = \frac{3\sqrt 2}{2} , по теореме Пифагора M_1M = \sqrt{M_2M_1^2 + M_2M^2} = \sqrt { \left(3\sqrt 2 \right)^2 + \left(\frac{3\sqrt 2}{2} \right)^2 } = 3\sqrt{\frac{5}{2}}. Из подобия треугольников \triangle M_1C_1Q \sim \triangle MAQ (по двум углам) \frac{M_1C_1}{AM} = \frac{M_1Q}{MQ} = \frac{C_1Q}{AQ} = \frac{5\sqrt{2}/2}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{2}. Отсюда AQ = 2C_1Q . Так как AQ+C_1Q = AC_1 = 3\sqrt{10} , то 3C_1Q = 3\sqrt{10} , откуда C_1Q = \sqrt{10} , M_1Q = \frac{1}{3} MM_1 = \sqrt{\frac{5}{2}} .

Проверим, является ли \triangle M_1QC_1 прямоугольным по теореме, обратной теореме Пифагора. C_1Q^2 + M_1Q^2 = (\sqrt{10})^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{25}{2} , M_1C_1^2 = \frac{25}{2} . Поскольку C_1Q^2 + M_1Q^2 = M_1C_1^2 , \triangle M_1QC_1 прямоугольный, поэтому AC_1 \perp MM_1 . Так еще AC_1 \perp BD , то AC_1\perp \gamma .

б) Найдем расстояние от центра верхнего основания O_1 до плоскости \gamma . Это расстояние равно высоте O_1H в \triangle O_1MM_1 . Из подобия \triangle O_1HM_1 \sim \triangle AQM (по двум углам): \frac{O_1H}{AQ} = \frac{O_1M_1}{AM} \Longrightarrow O_1H = \frac{O_1M_1}{AM} \cdot AQ = \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5}. Так как прямая O_1B_1 \parallel BD , то O_1B_1 параллельна плоскости \gamma . Следовательно, расстояние от точки B_1 до плоскости \gamma равно расстоянию от точки O_1 до плоскости \gamma .

Ответ: б) \displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5} .

Stereo_2_60_s

Рис. 4: К примеру 3.33