Параллелепипед. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 1

Видео

Конспект

Параллелепипед

В этом разделе будем рассматривать прямоугольный параллелепипед, который является естественным обобщением куба.

Построение сечений. Площадь сечения

Пример 3.1

Пусть ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед. На ребре C_1D_1 задана точка K , на ребре CC_1 задана точка L , а на ребре AD — точка M , как показано на рис. 1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K , L , M .

Stereo_2_27 Рис. 1: К примеру 3.1

Решение.

Сечение строится аналогично примеру 2.1 для куба. Соединим точки K и L и продолжим отрезок KL до пересечения с прямой DC (рис. 1). Полученную точку пересечения соединим прямой с точкой M . Эта прямая пересекает ребро BC в точке M_1 . Поскольку плоскость сечения пересекает плоскости ABC и A_1B_1C_1 по параллельным прямым, поэтому проведем KK_1 \parallel MM_1 . Соединяя точки M и K_1 , завершаем построение сечения KLM_1MK_1K .

Ответ: рис. 5.

Задача 3.2

Пусть ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед. На ребре C_1D_1 задана точка K , на ребре CC_1 задана точка L , а на ребре AD — точка M , как показано на рис. 2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K , L , M .

Stereo_2_29 Рис. 2: К задаче 3.2

Ответ: сечение M L_1 L K_1K на рис. 6.

Пример 3.3

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1 : AB = AA_1 = a , AD = b точка M — середина ребра C_1D_1 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью AB_1M и найдите его площадь.

Stereo_2_31 Рис. 3: К примеру 3.3

Решение.

Построим сечение AB_1ML параллелепипеда (рис. 3). Оно представляет собой равнобедренную трапецию. Действительно, если две параллельные плоскости ( AA_1B_1 и DD_1C_1 ) пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны, поэтому AB_1 \| LM . Кроме того, \triangle ADL = \triangle B_1C_1M по двум катетам, поэтому трапеция равнобедренная. Ее боковую сторону можно найти из \triangle B_1MC_1 : B_1M = \sqrt{B_1C_1^2 + MC_1^2} =

\sqrt{b^2 + \frac{a^2}{4}} . Опустим высоту MH на основание трапеции AB_1 . Так как трапеция равнобедренная, то \displaystyle B_1H = \frac{1}{2} (AB_1 - ML) = \frac{1}{2} \left( a\sqrt 2 - \frac{a\sqrt 2}{2} \right) = \frac{a\sqrt 2}{4}. Тогда высота трапеции MH = \sqrt{B_1M^2 - B_1H^2} = \sqrt{b^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{8}} =

\sqrt{b^2 + \frac{a^2}{8}}, а площадь трапеции (площадь сечения) S = \frac{AB_1 + ML}{2} \cdot MH = \frac{3a\sqrt 2}{4} \sqrt{b^2 + \frac{a^2}{8}} = \frac{3a}{8} \sqrt{8b^2 + a^2}. Ответ: \displaystyle \frac{3a}{8} \sqrt{8b^2 + a^2} .

Пример 3.4

ЕГЭ-2015, досрочная волна, резервный день, №14.

Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 является квадрат ABCD со стороной 3\sqrt{2} , высота призмы равна 2\sqrt{7} . Точка K — середина ребра BB_1 . Через точки K и C_1 проведена плоскость \alpha , параллельная прямой BD_1 .

Докажите, что сечение призмы плоскостью \alpha является равнобедренным треугольником.

Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью \alpha .

Решение.

а) Рассмотрим плоскость (A_1C_1K) . Докажем, что она параллельна BD_1 . Пусть O_1 — точка пересечения диагоналей верхнего основания A_1C_1 и B_1D_1 (рис. 4).

Stereo_2_28_s Рис. 4: К примеру 3.4

В \triangle BB_1D_1 отрезок KO_1 является средней линией, так как K — середина BB_1 и O_1 — середина B_1D_1 . Следовательно, KO_1 \parallel BD_1 . Поскольку прямая KO_1 лежит в плоскости (A_1C_1K) , то по признаку параллельности прямой и плоскости плоскость (A_1C_1K) параллельна прямой BD_1 . Таким образом, плоскость (A_1C_1K) и есть искомая плоскость \alpha , а сечение — треугольник \triangle A_1C_1K .

\triangle A_1B_1K = \triangle C_1B_1K по двум катетам. Следовательно, их гипотенузы равны: A_1K = C_1K . Таким образом, \triangle A_1C_1K является равнобедренным.

б) Найдем длины сторон \triangle A_1C_1K . Высота призмы BB_1 = 2\sqrt{7} . Точка K — середина BB_1 , поэтому B_1K = \frac{1}{2} BB_1 = \sqrt{7} . Сторона основания A_1B_1 = 3\sqrt{2} . Из прямоугольного \triangle A_1B_1K : A_1K = \sqrt{(A_1B_1)^2 + (B_1K)^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{7})^2} = 5. Так как \triangle A_1C_1K равнобедренный, то C_1K = A_1K = 5 .

A_1C_1 — диагональ квадрата A_1B_1C_1D_1 со стороной 3\sqrt{2} , A_1C_1 = 6 .

Периметр \triangle A_1C_1K равен: P_{A_1C_1K} = A_1K + C_1K + A_1C_1 = 5 + 5 + 6 = 16

Ответ: б) 16 .

Ответы на задачи 3.1 и 3.2:

Stereo_2_28 Рис. 5: К примеру 3.1

Stereo_2_30 Рис. 6: К задаче 3.2