Параллелепипед. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 3

Видео

Конспект

Пример 3.7

ЕГЭ-2016, пробный вариант, С.Петербург, №14.

В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K делит боковое ребро AA_1 в отношении AK:KA_1 = 1:2 . Через точки B и K проведена плоскость \alpha , параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD_1 в точке M .

Докажите, что плоскость \alpha делит ребро DD_1 в отношении DM:MD_1 = 2:1 .

Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4 , AA_1 = 6 .

Решение.

а) Пусть ребро AA_1 = 3x , тогда AK = x , KA_1 = 2x . Построим сечение плоскостью \alpha . Соединим точки B и K , поскольку они принадлежат одной грани AA_1B_1B (рис. 11).

Stereo_2_33_s

Рис. 11: К примеру 3.7

Рассмотрим диагональное сечение (AA_1C_1C) . Линия пересечения плоскости \alpha с плоскостью (AA_1C_1C) будет прямой KP_1 \parallel AC . Пусть O и O_1 — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Прямая OO_1 лежит в плоскости (BB_1D_1D) . Пусть O_2 — точка пересечения плоскости \alpha с прямой OO_1 . Проведём через O_2 прямую BO_2 , получим точку P_2 . Соединим K и P_2 , P_1 и P_2 , что завершает построение сечения.

В \triangle B P_2 D отрезок OO_2 — средняя линия. Так как OO_2 = x , то P_2D = 2 OO_2 = 2x , следовательно, P_2D_1 = x , то есть P_2 делит ребро DD_1 в отношении 2:1 , считая от точки D .

б) Так как AA_1 = 6 , то x = 2 .

Сечение — это параллелограмм BKP_2P_1 . Для вычисления его площади найдем S_{KBP_1} и удвоим (рис. 12). В прямоугольном \triangle AKB KB = \sqrt{AB^2 + AK^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5} .

Stereo_2_34_s

Рис. 12: К примеру 3.7

\triangle KBP_2 — равнобедренный с основанием P_2B = 4\sqrt{3} и боковыми сторонами KB=KP_2=2\sqrt{5} .

Из \triangle KBO_2 BO_2 = \sqrt{BK^2 + KO_2^2} = \sqrt{ \left(2\sqrt 5 \right)^2 - \left(2\sqrt 2 \right)^2} = 2\sqrt 3 . S_{KBP_1} = \frac{1}{2} BO_2 \cdot KP_2 = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 3 \cdot 4\sqrt 2 = 4\sqrt 6 .

Площадь всего сечения S = 2 \cdot S_{\triangle KBP_1} = 2 \cdot 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6} .

Ответ: б) 8\sqrt{6} .

Задача 3.8

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны рёбра AB = 8 , AD = 7 , AA_1 = 5 . Точка W принадлежит ребру DD_1 и делит его в отношении DW:WD_1 = 1:4 , считая от вершины D .

Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C,~W и A_1 — параллелограмм.

Найдите площадь этого сечения.

Решение.

а) Построим сечение. Точки C и W принадлежат одной грани (DD_1C_1C) , поэтому мы можем соединить их отрезком CW (рис. 13).

Stereo_2_35_s

Рис. 13: К задаче 3.8

Поскольку грань (AA_1B_1B) параллельна грани (DD_1C_1C) , плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Проведём через точку A_1 прямую, параллельную CW , до пересечения с ребром AB в точке P_1 . Аналогично, плоскость сечения пересекает параллельные грани (AA_1D_1D) и (BB_1C_1C) . Следовательно, прямые, по которым плоскость их пересекает, также параллельны, то есть A_1W \parallel PC . В получившемся четырёхугольнике A_1PCW противолежащие стороны попарно параллельны. Следовательно, A_1PCW является параллелограммом по определению.

б) Площадь параллелограмма A_1PCW равна удвоенной площади треугольника \triangle A_1WC . Найдём стороны этого треугольника.

Из условия DW:WD_1 = 1:4 и DD_1 = AA_1 = 5 , получаем DW = 1 и WD_1 = 4 .

В прямоугольном \triangle A_1D_1W : A_1W = \sqrt{A_1D_1^2 + WD_1^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49+16} = \sqrt{65}. В прямоугольном \triangle DWC : WC = \sqrt{DC^2 + DW^2} = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{65}. Поскольку A_1W = WC , треугольник \triangle A_1WC является равнобедренным. Найдём длину его основания A_1C . A_1C — это диагональ параллелепипеда. A_1C = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{8^2 + 7^2 + 5^2} = \sqrt{138}. Проведём в равнобедренном \triangle A_1WC высоту WH к основанию A_1C . По свойству равнобедренного треугольника, H будет являться серединой A_1C . HC = \frac{1}{2}A_1C = \frac{\sqrt{138}}{2}. По теореме Пифагора в \triangle WHC (рис. 14): WH = \sqrt{WC^2 - HC^2} = \sqrt{(\sqrt{65})^2 - \left(\frac{\sqrt{138}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{122}}{2}.

Stereo_2_36_s

Рис. 14: К задаче 3.8

Площадь \triangle A_1WC : S_{\triangle A_1WC} = \frac{1}{2} \cdot A_1C \cdot WH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{138} \cdot \frac{\sqrt{122}}{2} = \frac{\sqrt{4209}}{2}. Площадь сечения (параллелограмма A_1PCW ) равна: S_{сеч} = 2 \cdot S_{\triangle A_1WC} = 2 \cdot \frac{\sqrt{4209}}{2} = \sqrt{4209}.

Ответ: б) \sqrt{4209} .