Параллелепипед. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 3.5

ЕГЭ-2013, основная волна, Сибирь, №14.

В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания равна 20 , а боковое ребро AA_1 = 7 . Точка M принадлежит ребру A_1D_1 и делит его в отношении 2:3 , считая от вершины D_1 .

Докажите, что точки A и C равноудалены от плоскости, проходящей через точки B, D и M .

Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M .

Решение.

а) Плоскость диагонального сечения (ACC_1A_1) перпендикулярна диагонали основания BD , так как призма правильная, и следовательно, AC \perp BD и AA_1 \perp BD . Значит, прямая BD перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (ACC_1A_1) (рис. 7).

Stereo_2_29_s

Рис. 7: К примеру 3.5

Плоскость сечения (BMD) проходит через прямую BD . Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD . Прямая O_2O является линией пересечения плоскостей (BMD) и (ACC_1A_1) .

Расстояние от точки A до плоскости (BMD) — это длина перпендикуляра AH_1 , опущенного из точки A на плоскость (BMD) . Так как BD \perp (ACC_1A_1) , а AH_1 должен быть перпендикулярен BD , то AH_1 должен лежать в плоскости (ACC_1A_1) . Следовательно, AH_1 — это перпендикуляр, опущенный из A на линию пересечения O_2O . Аналогично, расстояние от точки C до плоскости (BMD) — это длина перпендикуляра CH_2 , опущенного из точки C на прямую O_2O .

\triangle AOH_1 = \triangle COH_2 по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что AH_1 = CH_2 , а значит точки A и C равноудалены от плоскости (BMD) .

б) Сечением призмы плоскостью (BMD) является четырехугольник BKMD , где точка K лежит на ребре A_1B_1 . Поскольку плоскость основания (ABCD) параллельна плоскости верхнего основания (A_1B_1C_1D_1) , то линии пересечения плоскости сечения с этими основаниями параллельны. То есть, KM \parallel BD . Значит, сечение BKMD — это трапеция.

Так как \triangle A_1B_1D_1 — равнобедренный прямоугольный треугольник, и KM \parallel B_1D_1 , то \triangle A_1KM \sim \triangle A_1B_1D_1 . Из условия A_1M:MD_1 = 3:2 и A_1D_1 = 20 , получаем A_1M = 12 и MD_1=8 . Коэффициент подобия: \frac{A_1M}{A_1D_1} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} Длина диагонали основания BD = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2} . Тогда B_1D_1 = 20\sqrt{2} . KM = \frac{3}{5} B_1D_1 = \frac{3}{5} \cdot 20\sqrt{2} = 12\sqrt{2} Найдем боковые стороны трапеции. В прямоугольном \triangle D_1DM : MD = \sqrt{D_1M^2 + DD_1^2} = \sqrt{8^2 + 7^2} = \sqrt{113} . Из подобия \triangle A_1KM и \triangle A_1B_1D_1 следует, что \frac{A_1K}{A_1B_1} = \frac{3}{5} , откуда A_1K = \frac{3}{5} \cdot 20 = 12 . Тогда KB_1 = 20 - 12 = 8 . В прямоугольном \triangle B_1BK : BK = \sqrt{B_1K^2 + BB_1^2} = \sqrt{8^2+7^2} = \sqrt{113} . Так как BK=MD , трапеция BKMD — равнобедренная.

В трапеции BKMD проведем высоты KP_1 и MP_2 (рис. 8).

Stereo_2_30_s

Рис. 8: К примеру 3.5

BP_1 = \frac{BD-KM}{2} = \frac{20\sqrt{2} - 12\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}. В прямоугольном \triangle BKP_1 : KP_1 = \sqrt{BK^2 - BP_1^2} = \sqrt{(\sqrt{113})^2 - (4\sqrt{2})^2} = 9. Площадь трапеции: S_{BKMD} = \frac{KM+BD}{2} \cdot KP_1 = \frac{12\sqrt{2}+20\sqrt{2}}{2} \cdot 9 = 144\sqrt{2}

Ответ: б) 144\sqrt{2} .

Пример 3.6

ЕГЭ-2016, досрочная волна, №14.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания AB равна 3 , а боковое ребро AA_1 = \sqrt{6} . На рёбрах AB, A_1D_1 и C_1D_1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A_1N = C_1K = 1 .

Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC . Докажите, что MNKL — квадрат.

Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .

Решение.

а) Построим сначала сечение призмы плоскостью (MNK) . Продлим DC и ML до их пересечения в точке P_1 (рис. 9).

Stereo_2_31_s

Рис. 9: К примеру 3.6

Соединим точки K и P_1 , Получим точку P_2 . Соединим P_2 и L (они принадлежат грани BB_1C_1C ). Проведем MP_3 \parallel P_2K (плоскость сечения пересекает параллельные грани по параллельным прямым). По этой же причине NK \parallel ML . Кроме того, NK = ML = 2\sqrt 2 , поэтому четырёхугольник MNKL — параллелограмм. Соединяя точки P_3 и L , завершаем построение сечения.

Пусть H — проекция точки N на плоскость основания (ABC) . Точка H лежит на ребре AD , причём AH = A_1N = 1 . \triangle MNH — прямоугольный, так как NH \perp (ABC) . В плоскости основания рассмотрим \triangle AMH . \angle MAH = 90^\circ , AM=1 , AH=1 .

Тогда: MH = \sqrt{AM^2+AH^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} В прямоугольном \triangle MNH , где катет NH = AA_1 = \sqrt{6} : MN = \sqrt{MH^2+NH^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = 2\sqrt{2} Так как MN=NK , параллелограмм MNKL является ромбом.

Докажем, что угол \angle NML — прямой. Воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. NH — перпендикуляр к плоскости (ABC) , MN — наклонная, MH — её проекция на плоскость (ABC) . MH \parallel BD , следовательно, MH \perp AC , поэтому MH \perp ML . Отсюда получаем, что MNKL — квадрат.

б) \triangle MBL — прямоугольный и равнобедренный, следовательно, \angle BLM = 45^\circ , поэтому \angle P_1LC_1 = 45^\circ . Отсюда \triangle LC_1P_1 — прямоугольный равнобедренный, следовательно, CP_1 = LC = 1 . \triangle CP_2P_1 = \triangle C_1P_2K по катету и острому углу ( C_1K = P_1C = 1 , \angle KP_2C_1 = P_1P_2C как вертикальные), поэтому C_1P_2 = CP_2 = \frac{\sqrt 6}{2} , то есть P_2 — середина CC_1 . Аналогично P_3 — середина AA_1 . Отсюда следует, что сечение прямоугольного параллелепипеда состоит из двух одинаковых равнобедренных трапеций: P_3NKP_2 и P_3MLP_2 (рис. 10). Найдём площадь трапеции P_3NKP_2 .

Stereo_2_32_s

Рис. 10: К примеру 3.6

Основания трапеции: NK = 2\sqrt{2} (из пункта а). Второе основание P_3P_2 параллельно диагонали AC , так как P_3 и P_2 — середины боковых рёбер. P_3P_2 = AC = \sqrt{3^2+3^2} = 3\sqrt{2}. Боковая сторона P_3N . В прямоугольном \triangle P_3A_1N : P_3N = \sqrt{(A_1P_3)^2 + (A_1N)^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}. Проведём высоты NH_1 и KH_2 к основанию P_3P_2 . P_3H_1 = \frac{P_3P_2 - NK}{2} = \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} В прямоугольном \triangle P_3NH_1 : NH_1 = \sqrt{P_3N^2 - P_3H_1^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2} Площадь трапеции P_3NKP_2 : S_1 = \frac{P_3P_2 + NK}{2} \cdot h = \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 5. Полная площадь сечения равна удвоенной площади этой трапеции: S_{сечения} = 2 \cdot S_1 = 2 \cdot 5 = 10.

Ответ: б) 10 .